自伴算子

在數學裏，作用於一個有限維的内积空間，一個自伴算子（self-adjoint operator）等於自己的伴隨算子；等價地說，在一组单位酉正交基下，表達自伴算子的矩陣是埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理，必定存在著一個正交歸一基，可以表達自伴算子為一個實值的對角矩陣。

量子力學

在量子力學裏，自伴算子，又稱為自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符${\hat {O}}\,\!$和其伴隨算符${\hat {O}}^{\dagger }\,\!$，假設${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!$ ，則稱${\hat {O}}\,\!$為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可觀察量

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量$O\,\!$的期望值是實值的：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!$。

對於任意量子態$|\psi \rangle \,\!$，這關係都成立；

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!$。

根據伴隨算符的定義，假設${\hat {O}}^{\dagger }\,\!$是${\hat {O}}\,\!$的伴隨算符，則$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!$。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!$。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符${\hat {O}}\,\!$，都是厄米算符。

可觀察量，像位置，動量，角動量，和自旋，都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符${\hat {H}}\,\!$是一個很重要的自伴算符，表達為

${\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \,\!$；

其中，$\psi \,\!$是粒子的波函數，$\hbar \,\!$是約化普朗克常數，$m\,\!$是質量，$V\,\!$是位勢。

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量，一個可觀察量。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態$|\psi \rangle \,\!$的波函數為$\psi (x)\,\!$，

$\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{*}\psi \ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!$。

對於任意量子態$|\psi \rangle \,\!$，${\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!$。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)