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數學中,解析空間是一類局部上由解析函數定義的局部賦環空間,可理解為解析版本的概形

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定義编辑

固定一個完備域  (通常取   )。

 ,其中  ,令    上的解析函數層。設   為解析函數,我們考慮它們的共同零點形成之空間   (帶來自   的拓撲結構),並賦予結構層  。如此遂得到一個局部賦環空間,這類空間稱作局部模型

注意到我們容許結構層中有冪零元,一如概形的情形,若一個解析空間的結構層之冪零根為零,則稱之為既約的。

所謂解析空間是一個局部同構於上述空間的局部賦環空間  ;或者說是局部模型沿著開集的黏合。在   時,數學家們已有特別深入的研究,這類解析空間稱為複解析空間,可以視為複流形的推廣。

解析凝聚層编辑

岡潔引理(Oka's lemma)是這方面的最初成果之一,其推論之一是:複解析空間的結構層是凝聚層,其中的任何理想層也都是凝聚層。

對複解析凝聚層已有一套細緻的理論,包括一些重要的有限性定理;詳閱 Grauert 與 Remmert 的著作(見參考文獻)。

複概形與解析空間编辑

具良好性質(局部諾特、分離……)的複概形   可視作解析空間;形式地說,有解析化函子

 ,映至相應的複解析空間。
 ,將   上的代數凝聚層映至   上的解析凝聚層。

於是引生兩大問題:

  1. 比較複概形及其解析化的諸般性質:包括拓撲性質(連通性、緊性、分支、真態射)及上同調(或者更一般的高階正像導函子  )等等……。
  2. 複解析空間的代數性問題:一個複解析空間稱作是代數的,若且唯若它同構於某個  ,其中   是個複概形;顯然存在非代數的複解析空間(例如   的單位圓盤)。能否給出代數性的一般判準?

關於第一個問題,可參閱塞爾的著名論文 Géométrie algébrique et géométrie analytique代數幾何與解析幾何),或 SGA 卷一附錄。第二個問題則牽涉甚廣。已知一維緊複流形皆是射影代數簇,這是黎曼的經典結果;至於一般的整、緊複解析空間,代數化的必要條件之一是存在「夠多」亞純函數,明確地說,即亞純函數域的超越次數須等於空間的維度;這類空間稱作 Moishezon 空間。對於緊複流形,另一個必要條件是須有 Kähler度量

文獻编辑

  • H. Grauert, R. Remmert, Analytische Stellenalgebren (1971) , Springer-Verlag (也有英譯本:Coherent Analytic Sheaves
  • Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3). Société Mathématique de France. 2003: xviii+327 [1971]. ISBN 978-2-85629-141-2 (法语). 
  • J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.