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數學裏,特別是在變分法裏,變分法基本引理fundamental lemma of calculus of variations)是一種專門用來變換問題表述的引理,可以將問題從弱版表述weak formulation)(變分形式)改變為強版表述(微分形式)。

敘述编辑

  代表 阶导数连续( 阶光滑)的函数空间, 代表无限光滑的函数空间。

變分法基本引理:

 

若任意   皆滿足下列兩式

 
 

 

證明编辑

  

因為只要存在一個不滿足    ,就可以證明   ,因此我們只須證明其中一個特例。


  滿足下列兩個條件:

 

 

並且令  

  可得到

 

因為    是正值,所以  必須恆等於 0 ,與假設   矛盾。

 

應用编辑

這引理可用來證明泛函

 

極值歐拉-拉格朗日方程式

 

的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學微分幾何佔有重要的角色。

參閱编辑

參考文獻编辑

  • Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.