铁木辛柯梁理论

铁木辛柯梁是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。[1][2]模型考虑了剪应力转动惯性,使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶,但不同于一般的梁理论,如欧拉-伯努利梁理论,还有一个2阶空间导数呈现。实际上,考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度,结果在一稳态载荷下挠度更大,在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显,反向剪力距离缩短时也有同样效果。

铁木辛柯梁(蓝)的变形与欧拉-伯努利梁(红)的对比

如果梁材料的剪切模量接近无穷,即此时梁为剪切刚体,并且忽略转动惯性,则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论。

控制方程编辑

准静态铁木辛柯梁编辑

 
铁木辛柯梁的变形。 不等于 

静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响,假定梁的位移服从于

 

式中 是梁上一点的坐标, 是位移矢量的三维坐标分量, 是对于梁的中性面的法向转角, 是中性面的在 方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系统:

 

静态条件下的铁木辛柯梁理论,若在以下條件成立時,等同于欧拉-伯努利梁理论

 

此時,可忽略上面控制方程的最后一项,得到有效的近似,式中 是梁的长度。

对于等截面均匀梁,合并以上两个方程,

 

动态铁木辛柯梁编辑

在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响,则给出梁的位移

 

式中 是梁内一点的坐标, 是位移矢量的三维坐标分量, 是对于梁的中性面的法向转角, 是中性面 方向的位移.

从以上假设,铁木辛柯梁,考虑到振动,要用线性耦合偏微分方程描述:[3]

 
 

其中因变量是梁的平移位移 和转角位移 。注意不同于欧拉-伯努利梁理论,转角位移是另一个变量而非挠度斜率的近似。此外,

  •  是梁材料的密度(而非线密度);
  •  是截面面积;
  •  弹性模量
  •  剪切模量
  •  轴惯性矩
  •  ,称作铁木辛柯剪切系数,由形状确定,通常矩形截面 
  •  是载荷分布(单位长度上的力);
  •  
  •  

这些参数不一定是常数。

对于各向同性的线弹性均匀等截面梁,以上两个方程可合并成[4][5]

 

轴向影响编辑

如果梁的位移由下式给出

 

其中  方向的附加位移,则铁木辛柯梁的控制方程成为

 

其中  是外加轴向力。任意外部轴向力的平衡依靠应力

 

式中 是轴向应力,梁的厚度设为 

包含轴向力的梁方程合并为

 

阻尼编辑

如果,除轴向力外,我们考虑与速度成正比的阻尼力,形如

 

铁木辛柯梁的耦合控制方程成为

 
 

合并方程为

 

切变系数编辑

确定切变系数不是直接的,一般它必须满足:

 

切变系数由泊松比确定。更严格的表达方法由多位科学家完成,包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林(Raymond D. Mindlin)、考珀(G. R. Cowper)和约翰·哈钦森(John W. Hutchinson)等。工程实践中,斯蒂芬·铁木辛柯的表达一般状况下足够好。[6]

对于固态矩形截面:

 

对于固态圆形截面:

 

参考文献编辑

  1. ^ Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.
  2. ^ Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.
  3. ^ Timoshenko's Beam Equations. [2013-03-22]. (原始内容存档于2007-10-15). 
  4. ^ Thomson, W. T., 1981, Theory of Vibration with Applications
  5. ^ Rosinger, H. E. and Ritchie, I. G., 1977, On Timoshenko's correction for shear in vibrating isotropic beams, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, pp. 1461-1466.
  6. ^ Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. Pages 207.
  • Stephen P. Timoshenko. Schwingungsprobleme der technik. Verlag von Julius Springer. 1932.