在数学 ，特别是向量分析 与微分拓扑 中，一个闭形式
α
{\displaystyle \alpha }
微分 算子
d
{\displaystyle d}
核 ，即
d
α
=
0
{\displaystyle d\alpha =0}
微分形式 ；而恰当形式 (恰当微分形式)
α
{\displaystyle \alpha }
d
{\displaystyle d}
像 ，即存在某个微分形式
β
{\displaystyle \beta }
α
=
d
β
{\displaystyle \alpha =d\beta }
β
{\displaystyle \beta }
α
{\displaystyle \alpha }
因为
d
2
=
0
{\displaystyle d^{2}=0}
拓扑 信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为
d
{\displaystyle d}
零函数 。
当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的 。这便是说，如果
ζ
{\displaystyle \zeta }
η
{\displaystyle \eta }
β
{\displaystyle \beta }
ζ
−
η
=
d
β
,
{\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,}
则我们说
ζ
{\displaystyle \zeta }
η
{\displaystyle \eta }
上同调于零 。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调 类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论 。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
物理 所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元
d
x
∧
d
y
{\displaystyle dx\wedge dy}
α
=
f
(
x
,
y
)
d
x
+
g
(
x
,
y
)
d
y
,
{\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,}
具有真正的意义，其外导数
d
{\displaystyle d}
d
α
=
(
g
x
−
f
y
)
d
x
∧
d
y
,
{\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,}
这里下标表示偏导数 。从而
α
{\displaystyle \alpha }
f
y
=
g
x
.
{\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .}
当
h
(
x
,
y
)
{\displaystyle h(x,y)}
d
h
=
h
x
d
x
+
h
y
d
y
.
{\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .}
“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性 的一个推论，这可以直接推广到高维情形。
在
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
保守场 ），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析 的语言来说相当于有势场一定是无旋场。
庞加莱引理 断言：如果
X
{\displaystyle X}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
可缩 开子集，对任何整数
p
>
0
{\displaystyle p>0}
X
{\displaystyle X}
p
{\displaystyle p}
α
{\displaystyle \alpha }
p
≤
n
{\displaystyle p\leq n}
可缩意味着存在同伦映射
F
t
:
X
×
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
c
{\displaystyle c}
X
{\displaystyle X}
更确切地，我们将
X
{\displaystyle X}
X
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\times [0,1]}
j
1
(
x
)
=
(
x
,
1
)
{\displaystyle j_{1}(x)=(x,1)}
j
0
(
x
)
=
(
x
,
0
)
{\displaystyle j_{0}(x)=(x,0)}
拉回 映射
j
1
∗
{\displaystyle j_{1}^{*}}
j
0
∗
{\displaystyle j_{0}^{*}}
上链同伦 联系：
K
d
+
d
K
=
j
1
∗
−
j
0
∗
.
{\displaystyle Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .}
令
Ω
p
(
x
)
{\displaystyle \Omega ^{p}(x)}
X
{\displaystyle X}
p
{\displaystyle p}
K
:
Ω
p
+
1
(
X
×
[
0
,
1
]
)
→
Ω
p
(
X
)
{\displaystyle K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)}
a
(
x
,
t
)
d
x
p
+
1
↦
0
,
a
(
x
,
t
)
d
t
d
x
p
↦
(
∫
0
1
a
(
x
,
t
)
d
t
)
d
x
p
,
{\displaystyle a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},}
这里
d
x
p
{\displaystyle dx^{p}}
d
t
{\displaystyle dt}
p
{\displaystyle p}
F
{\displaystyle F}
X
{\displaystyle X}
Q
{\displaystyle Q}
F
∘
j
1
=
i
d
,
F
∘
j
0
=
Q
.
{\displaystyle F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .}
在形式上：
j
1
∗
∘
F
∗
=
i
d
,
j
0
∗
∘
F
∗
=
0
.
{\displaystyle j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .}
将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。
这个引理的一个推论是德拉姆上同调 是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理 。
不可缩空间不一定有平凡 的德拉姆上同调。例如，在
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
d
t
{\displaystyle dt}
注意 ：
t
{\displaystyle t}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
d
t
{\displaystyle dt}
良定 的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但
d
t
{\displaystyle dt}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7 
![{\displaystyle F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93660391db9b4f802dceea06ec77c92428008310)
![{\displaystyle X\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd76f8aa27cdb748a869ec11fc6548bcab6d396b)
![{\displaystyle K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f475f38ba7487376cc00e345a6f84efa7de0a806)
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
