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數學中,正整数的階冪英语:expofactorialexponential factorial)是所有小於及等於該數的正整數,記作 n$ ,例如:

階冪是階加階乘冪運算上的類比。

前几项的階冪数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... (OEIS中的数列A049384

階冪的增長率比階乘,甚至過級階乘還要快。到了5的階冪,已經是

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定義编辑

一般地說,對於正整數 n

 

從上述公式中,可以推導出遞歸關係

 

遞迴關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立,例如:

 

非正整數的擴展编辑

階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘,階冪的定義域從正整數推廣到實數複數的過程中,遇到了困難。

疊代冪次相似,由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義,   並未定義。階冪亦不像階乘般,存在如伽瑪函數一樣的函數,作為其對實數以至複數的擴展。

變化编辑

雙階冪编辑

類比於雙階乘,我們能夠為正整數 n 定義雙階冪(double expofactorial)。

 單數 

 雙數 

多重階冪编辑

雙階冪能進一步推廣為多重階冪(multiple expofactorial)。  被称为 nm 重階冪,定义为

 

例如,  

超級階冪编辑

類比於由尼爾·斯洛恩西蒙·普勞夫定義的超級階乘,我們能定義超級階冪(superexpofactorial)為首 n 個階冪的疊冪,記作 

 

例如,  

前幾個超級階冪為

1 , 2 , 81, ...
第四个超級階冪值約為 

過級階冪编辑

過級階冪(hyperexpofactorial)寫作   ,其定義為

 

其中   表示疊代冪次

例如,  

前幾項的過級階冪為

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
第四个過級階冪值約為 

倒數階冪编辑

倒數階冪(reciprocal expofactorial)是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪:

 

階冪的和及積编辑

n 個階冪的和為

 

n 個階冪的積為

 

以上兩個數值的增長率,要比階冪本身還要快。


n 個階冪倒數的和為

 

n 趨向無窮大,其值收斂於  。(OEIS中的数列A080219

參見编辑

參考文獻编辑

  • Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley.
  • Jonathan Sondow, "Exponential Factorial" From Mathworld, a Wolfram Web resource
  • Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.