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遞進階乘與遞降階乘

(重定向自阶乘幂

数学中,階乘冪(英語:Factorial power)是基于自然數数列积的一种运算,分為遞進階乘(英語:Rising factorial)和遞降階乘(英語:Falling factorial),或稱上升階乘下降階乘

定义编辑

遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。

里奧·珀赫哈默尔英语Leo August Pochhammer引进的珀赫哈默尔符號(Pochhammer symbol)是常用的一种,分別為  

一种较为少见的写法将遞進階乘記作  

葛立恒高德纳奧倫·帕塔什尼克英语Oren Patashnik在《具体数学》一书中,則引进符號   

遞進階乘编辑

组合学特殊函数理论中,遞進階乘用于表达上升自然數数列的,定义为

 

遞降階乘编辑

组合学中也常用遞降階乘:

 

另外,值得一提的是遞降階乘实际上是排列  ,详见排列

两者的关系编辑

遞進階乘与遞降階乘,两者之间的关系为:

 

它們与阶乘的关系为:

 

擴展编辑

零次幂编辑

零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為空積 1 :

 

实数编辑

運用伽玛函数,階乘冪的定義域可以扩展到实数

遞進階乘的定义變為

 

遞降階乘则为

 

特性编辑

遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达:

 
 

于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。


显然,遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积,它定能被 n 整除,即

 
 


n=4 ,遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1,即

 
 


遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则:

 
 

其中系数为二项式系数


因为遞降階乘是多项式环的基础,我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合:

 

等式右边的系数则为二项式系数

一般化编辑

階乘冪能一般化至任意函數和公差:

 
 

使用這個記號,原來的遞進階乘与遞降階乘便記作   

与亚微积分的關係编辑

差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似,不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中,遞降階乘   替代微分中的   例如:

 

 

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式二项式型谢费尔序列

参考文献编辑

  • Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
  • Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .