隔板法

隔板法组合数学的方法,用来处理个无差别的球放进个不同的盒子的问题。可一般化为求不定方程的解数,并利用母函数解决问题。

隔板法插空法的原理一样。[1]

例子编辑

现在有 个球,要放进 个盒子里

●●●●●●●●●●

 个板子,把 个球被隔开成 个部份

●|●|●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●、●|●●●●|●●●●●、●|●●●●●|●●●●、●|●●●●●●|●●●、......

如此类推, 个球放进 个盒子的方法总数为 

 个球放进 个盒子的方法总数为 

问题等价于求 的可行解数,其中 正整数

空盒子推广编辑

现在有 个球,要放进 个盒子里,并允许空盒子。考虑 个球的情况:

●|●|●●●●●●●●●●●、●|●●|●●●●●●●●●●、●|●●●|●●●●●●●●●、●|●●●●|●●●●●●●●、●|●●●●●|●●●●●●●、......

每个盒子的球都被拿走一个,得到一种情况,如此类推:

||●●●●●●●●●●、|●|●●●●●●●●●、|●●|●●●●●●●●、|●●●|●●●●●●●、|●●●●|●●●●●●、......

 个球放进 个盒子的方法总数(允许空盒子),等同於 个球放进 个盒子的方法总数(不允许空盒子),即 [2]

问题等价于求 的可行解数,其中 非负整数

 也是 展开式的项数 [3]

参见编辑

参考资料编辑

  1. ^ 樊友年. “插空法”应用系列. 数学通报. 1995, (1). 
  2. ^ 徐浩全. “隔板法”在解不定方程方面的应用及其推广. 中学教学参考. 2010, (5). 
  3. ^ 徐国文. 多项式(a1+a2+a3+…+am)~n展开式的项数. 高中数学教与学. 2002, (7).