非交换概率空间

数学的分支概率论算子代数中,非交换概率空间是对经典概率空间、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称代数非交换概率空间[1],其定义为一个有单位元代数 ,其上配备有一个保单位元的线性泛函 中元素可视为是非交换版本的随机变量,而 则计算各随机变量的期望。出于各种实际目的,代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强,从而引出§ 非交换*-概率空间等概念。

非交换概率空间是非交换概率论的基本数学结构,非交换概率论可应用在谱理论随机矩阵量子力学中。[2]

动机

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随机变量代数与期望

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测度论表述中的概率论是基于所谓概率空间   ,即一个总测度为一的(正)测度空间。所谓随机变量即是其上的实值可测函数,而随机变量的期望则是其勒貝格積分

现在考虑全体本质有界的随机变量,它们构成了一个   上的代数,这里简单记作   。在这个代数上,期望映射   是唯一能满足   且给出单调收敛性质的线性映射,其中   表示  指示函数。反过来,若具有单调收敛性质的非负线性映射   满足   (其中   是值为一的常函数,即   上的乘法单位元),则可用   一式唯一地定义一个概率测度。在这个意义上,随机变量代数的期望映射和概率空间的概率测度是一一对应的。借助单调类定理英语Monotone class theorem,还可建立在单调收敛下封闭的   上的有界函数代数与   的一一对应。[3]

对事件空间地位的降低,以及对代数性质的强调,使得概率论可以有较明显的推广方案,来兼容非交换的随机变量。

量子概率与*-代数

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分析性质

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定义

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非交换概率空间

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  是一代数非交换概率空间,若    上的一个有单位元   的代数,    上一个满足   的线性泛函。一些作者也考虑代数无单位元的情况[4]

非交换*-概率空间

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  是一非交换*-概率空间,若   是一个代数非交换概率空间,且满足:

  •   是一个*-代数
  •   是一个正映射,也就是说   中的正元总是被映为非负实数,或者等价地说 这个条件结合   意味着   是一个英语State (functional Analysis)

非交换C*-概率空间

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  是一非交换C*-概率空间,若   是一个非交换*-概率空间,且满足:

  •   是一个C*-代数
  •   是非退化的,也就是说  


上面的   是一个   诱导的半范数,定义为  形式上它类似于左乘映射  算子范数。一些作者不要求   为非退化的,因为总是可去满足   的元素所构成的*-理想使其成为非退化的[5]

非交换W*-概率空间

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  是一非交换W*-概率空间,若   是一个非交换C*-概率空间,且满足:

  •   是一个W*-代数
  •  正规的。或者等价地说,  超弱连续的。

值得一提的是,即便在非交换概率空间的定义中解除对有单位元的要求,如此定义的非交换W*-概率空间也必然有单位元。

参考文献

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文内引注

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  1. ^ Voiculescu, Dan (编). Free probability and operator algebras. Münster Lectures in Mathematics. Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. 2016. ISBN 978-3-03719-165-1. 
  2. ^ 254A, Notes 5: Free probability. What's new. 2010-02-11 [2024-04-21]. (原始内容存档于2023-12-17) (英语). 
  3. ^ Lowther, George. Algebraic Probability. Almost Sure. 2019-11-10 [2024-04-21]. (原始内容存档于2024-04-21) (英语). 
  4. ^ Lowther, George. States on *-Algebras. Almost Sure. 2019-12-08 [2024-04-20]. (原始内容存档于2024-04-20) (英语). 
  5. ^ Lowther, George. Noncommutative Probability Spaces. Almost Sure. 2020-02-05 [2024-04-20] (英语).