香农小波

在泛函分析中，香农小波（英語：Shannon wavelet）（或Sinc小波）是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波，也可以是复小波。

香农小波在时域局域化特性不好（时域非紧支撑），但其傅里叶变换是带限的（频域是紧支撑）。因此香农小波的时间定位性能较差，但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反，因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。

定义

香农小波的构建从Sinc函数开始。

尺度函数

首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数：

$\phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).$

其伸缩和平移为：

$\phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

其中，$n,k$ 为伸缩和平移的参数。

尺度函数的傅里叶变换为：

$\Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$

其中（归一化的）矩形函数定义为：

$\Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$

尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为：$\Phi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})$

母小波

由尺度函数 $\Phi ^{\text{(Sha)}}$ 和多分辨率近似，我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式：

$\Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}$

其伸缩和平移形式为：

$\Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}$

对其进行逆傅里叶变换，可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式：

$\psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}$

$\psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

进一步了解香农小波的构建可以参考。

尺度函数和母小波的性质

• 母小波是单位正交的：

$<\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{if }}h=k{\text{ and }}n=m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

• 尺度 $n=0$ 的尺度函数的平移是正交的：

$<\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}$

• 尺度$n=0$的尺度函数和母小波时正交的：

$<\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0$

• 香农小波有无穷阶的消失矩

实香农小波

利用香农小波重建函数

假设信号 $f(x)\in L_{2}(\mathbb {R} )$ 满足 $\operatorname {supp} \operatorname {FT} \{f\}\subset [-\pi ,\pi ]$ 并对任意伸缩和平移参数 $n,k$都有：

${\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\phi _{k}^{0}(t)dt{\Bigg |}<\infty$, ${\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{k}^{n}(t)dt{\Bigg |}<\infty$

则

$f(t)=\sum _{k=\infty }^{\infty }\alpha _{k}\phi _{k}^{0}(t)$ 是一致收敛的，其中 $\alpha _{k}=f(k)$

实香农小波

在傅里叶变换中，香农母小波由下式给出：

$\Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).$

其中（归一化）门函数由下式定义：

$\prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}$

实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到：

$\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)$

也可按：

$\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t-1)-\operatorname {sinc} (t),$

其中

$\operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}$

是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。 该小波有$C^{\infty }$级的可微性，但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑，因为有频带限制的信号没有时间限制。

对于香农MRA（或是正弦MRA）的缩放函数由下面示例函数给出：

$\phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).$

复香农小波

复连续香农小波由下式定义：

$\psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t).e^{-j2\pi t}$,

参考资料

• S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
• C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
• L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014， 9 pages.