泛函分析中,香农小波(英语:Shannon wavelet)(或Sinc小波)是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波,也可以是复小波。

香农小波在时域局域化特性不好(时域非紧支撑),但其傅里叶变换是带限的(频域是紧支撑)。因此香农小波的时间定位性能较差,但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反,因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。

定义

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香农小波的构建从Sinc函数开始。

尺度函数

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首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数:

 

其伸缩和平移为:

 

其中,  为伸缩和平移的参数。

尺度函数的傅里叶变换为:

 

其中(归一化的)矩形函数定义为:

 

尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为: 

母小波

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由尺度函数   和多分辨率近似,我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式:

 

其伸缩和平移形式为:

 

对其进行逆傅里叶变换,可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式:

 

 

进一步了解香农小波的构建可以参考[1]

尺度函数和母小波的性质

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  • 母小波是单位正交的:

 

  • 尺度   的尺度函数的平移是正交的:

 

  • 尺度 的尺度函数和母小波时正交的:

 

  • 香农小波有无穷阶的消失矩
 
实香农小波

利用香农小波重建函数

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假设信号   满足   并对任意伸缩和平移参数  都有:

 ,  

  是一致收敛的,其中  

实香农小波

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傅里叶变换中,香农母小波由下式给出:

 

其中(归一化)门函数由下式定义:

 

实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到:

 

也可按:

 

其中

 

是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。 该小波有 级的可微性,但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑,因为有频带限制的信号没有时间限制。

对于香农MRA(或是正弦MRA)的缩放函数由下面示例函数给出:

 

复香农小波

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复连续香农小波由下式定义:

 ,

参考资料

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  • S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
  • C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
  • L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014, 9 pages.
  1. ^ 冉启文; 谭立英. 小波分析与分数傅里叶变换及应用. 北京: 国防工业出版社. 2002. ISBN 7-118-02642-5. OCLC 50621155.