魏尔施特拉斯逼近定理

定理

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理(Stone–Weierstrass theorem)有两个:

第一逼近定理可以推广至上的有界闭集

证明编辑

  • 第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导[1][2]
  • 第二逼近定理的证明:

 为周期为 的连续函数,定义 为一三角级数。 首先证明 ,为一个正交函数系:

 

 (因为 )。 故令 ,于是我们可以求出 。 将 代入   的定义式中,有:

 

下面对积分号中的和式S求和,令 ,那么就有: ,分成正负两部分求和,可知:

  代回原积分,有 ,这就是f(s)的泊松积分。其中 称为泊松核。故有:

 

我们要检验的的是  时的情况,可以证明:

 

 一致连续性,可以证明,上式在 时,满足一致收敛的条件,故我们可以用 来一致逼近 

参阅编辑

  1. ^ 柯朗; 希尔伯特. 数学物理方法. 北京: 科学出版社. 2011: 57–58. ISBN 978-7-03-031361-4. 
  2. ^ 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程 3. 路见可, 余家荣, 吴亲仁 译. 北京: 高等教育出版社. 2006: 480–481. ISBN 978-7-04-018305-4.