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数学中,黎曼-西格尔公式黎曼ζ函數近似函数方程误差的渐近公式,前者是ζ函數的近似值,由两个有限狄利克雷级数的和来近似。Siegel(1932)波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它,这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值,与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合,可以大大加快算法的速度。当沿着关键线使用时,通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用。

如果MN是非负整数,那么ζ函数等于

其中

是函数方程ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)中出现的因数,且

是一个围道积分,围道的起点和终点在+∞处,并最多绕绝对值奇点2πM圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。Siegel(1932)Edwards(1974)通过将最速下降法应用于该积分,推导出黎曼-西格尔公式,将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中,s通常位于关键线上,并且选择正整数MN约为(2πIm(s))1/2Gabcke(1979)发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。

黎曼积分公式编辑

黎曼证明了

 

积分围道是一条斜率为-1的线,通过0和1之间(Edwards 1974,7.9)。

他用此给出了以下ζ函数的积分公式:

 

参考编辑

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