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克莱尼星号

(重定向自Kleene星号

Kleene 星号,或稱Kleene 闭包,德语稱 Kleensche Hülle,在數學上是一種適用於字符串或符號及字元的集合一元運算。當 Kleene 星号被應用在一個集合時,寫法是。它被廣泛用於正则表达式

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定義及標記法编辑

假定

 

递归的定义集合

  这里的  

如果   是一个形式语言,集合   的第   次幂是集合   同自身的 i 次串接的简写。就是说,  可以被理解为是从   中的符号形成的所有长度为  字符串的集合。

所以在   上的 Kleene 星号的定義是  。就是说,它是从   中的符号生成的所有可能的有限长度的字符串的搜集。

例子编辑

Kleene 星号應用於字符串集合的例子:

{"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}

Kleene 星号應用於字元集合的例子:

{'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", ...}

推广编辑

Kleene 星号经常推广到任何幺半群 (M,  ),也就是,一个集合 M 和在 M 上的二元运算   有着

  • (闭包)  
  • (结合律)  
  • (单位元)  

如果 VM子集,则 V* 被定义为包含 ε(空字符串)并闭合于这个运算下的 V 的最小超集。接着 V* 自身是幺半群,并被称为“V 生成的自由幺半群”。这是上面讨论的 Kleene 星号的推广,因为在某个符号的集合上所有字符串的集合形成了一个幺半群(带有字符串串接作为二元运算)。

参见编辑

參考文獻编辑

The definition of Kleene star is found in virtually every textbook on automata theory. A standard reference is the following: