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NP (複雜度)

(重定向自NP (复杂度)
Euler diagram for P, NP, NP-complete, and NP-hard set of problems. Under the assumption that P≠NP, the existence of problems within NP but outside both P and NP-complete was established by Ladner.[1]

非決定性多项式集合(英語:non-deterministic polynomial,缩写:NP)是计算理论中最重要的集合之一。它包含PNP-complete。 P集合的問題即在多项式时间内可以找出解的決策性問題(decision problem)集合。注意NP包含P和NP-complete问题, 因此NP集合中有簡單的問題和不容易快速得到解的難題。[NP等不等於P?]是一個電腦界一個知名的大難題。

定义与推論编辑

NP, NP-hard, NP-complete的定義及推論编辑

決策問題:一個決策問題(decision problem)是指其輸出,只有「是」或「否」的問題。例如,搜尋問題為詢問 x 是否出現在一個集合 A 中?若有則輸出「是」,否則輸出「否」。
P集合: 當一個決策問題存在一個 O (nk)時間複雜度的演算法時,則稱此問題落在P 的集合中。

有一些決策問題,人類目前尚無法將他們歸入集合 P 中。為了思考這些問題,於是在一般演算法可採用的功能上,擴增以下虛構的新指令。這些新指令雖然不存在於現實中,但是對探討這些難題的性質及彼此的關係,有很大的幫助。以下是這些虛構的新指令:

1. choice(S ):自集合 S 中,選出會導致正確解的一個元素。當集合 S 中無此元素時,則可任意選擇一個元素。

2. failure():代表失敗結束。

3. success():代表成功結束。
其中 choice(S)可以解釋成,在求解的過程中,神奇地猜中集合 S 中其中一個元素,使其結果是成功的;並且這三個指令只需要 O(1)時間來執行。當然,choice(S) 是如何快速猜中的,在此是不需討論的,因為畢竟它只是虛構的。在添加這些虛構功能後,所設計出的演算法,被稱為非決定性演算法(non-deterministic algorithm);相較之下,原來一般的演算法,就稱為決定性演算法(deterministic algorithm)。利用非決定性演算法,我們定義出另一個集合 NP:

NP: 當一個決策問題存在一個 O (nk)時間複雜度的演算法時,則稱此問題落在NP 的集合中。

滿足問題 (satisfiability problem,簡稱 SAT ),就是一個NP 中的典型難題。

滿足問題:令 x 1,x 2,…,x n 代表布林變數(boolean variables)(其值非真(true)即假(false)的變數)。令-xi 代表 xi 的相反數(negation)。一個布林公式是將一些布林變數及其相反數利用而且(and)和或(or)所組成的表達式。滿足問題是判斷是否存在一種指定每個布林變數真假值的方式,使得一個布林公式為真。

輸入:一個 n 個變數的布林公式

例如: (-x 1∨ -x 2 ∨ x 3)∧ (x 1 ∨ x 4)∧(x 2 ∨ -x 1)

輸出:是否存在一種指定每個布林變數真假值的方式,使得此公式為真? 例如: 是(當 x 1=真,x 2=真,x 3=真,x 4=真時,此公式為真)

利用滿足問題可以定義出NP-hard和NP-complete。但是我們需要一個問題轉換的概念。 問題轉換技巧,其所需要轉換的時間皆需在多項式時間(即 O (nk))內完成。利用此多項式時間的轉換,我們可以將 NP中的難題建立起一些有趣的關係。

問題轉換:針對兩個問題 A 和 B ,如果存在一個 O (nk)時間的(決定性)演算法,將每一個問題 A 的輸入轉換成問題 B 的輸入,使得問題 A 有解時,若且惟若,問題 B 有解。此關係被稱為,問題 A 轉換成(reduce to)問題 B ,可表示成 A ∝ B 。

一個問題 L 被稱為是 NP-hard,若且惟若,滿足問題轉換成 L(即滿足問題∝L)。 滿足問題是 NP 中的難題,而 NP-hard 的問題則是滿足問題衍生(轉換)出來的。

一個問題 L 被稱為是 NP-complete,若且惟若,L ∈NP 而且 L ∈NP-hard。

史蒂芬庫克(Stephen Cook)證明了一個十分重要的性質:

性質(A):「任一個 NP 內的問題都可以,在多項式時間內,被轉換成滿足問題。」

性質(B):「任一個 NP 內的問題都可以,在多項式時間內,被轉換成任一個 NP-complete 問題。」

性質(C):「任一個 NP 內的問題都可以,在多項式時間內,被轉換成任一個 NP-hard 問題。」

性質(D):「滿足問題在集合 P 中,若且唯若,P=NP。」

例子编辑

比如說,一個決策性問題:輸入一個整數x, 請回答x是否為偶數(even number)。我們利用一個程式判斷x除以2是否整除即可得到最後結果 。此程式是決定性演算法, 並且其時間複雜度為O(1)=O(n0), 因此此問題落入P集合中。

再舉一個例子,下面是滿足問題的一個非決定性演算法。

Algorithm satisfiability (E (x 1, … , xn ))

{ Step 1: for i =1 to n do

xi ←choice (true, false) /*利用 choice 直接猜中 xi 的真假值*/

Step 2: if E (x 1, … , x n) is true then success () /*計算此布林公式是否為真*/

    else failure ();
}


上述的非決定性演算法的時間複雜度為O(n1)即代表滿足問題落入NP集合中。

参考文献编辑

引用编辑

  1. ^ R. E. Ladner "On the structure of polynomial time reducibility," J.ACM, 22, pp. 151–171, 1975. Corollary 1.1. ACM site.

来源编辑

  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 34.2: Polynomial-time verification, pp. 979–983.
  • Michael Sipser. Sections 7.3–7.5 (The Class NP, NP-completeness, Additional NP-complete Problems). Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997: pp. 241–271. ISBN 0-534-94728-X. 
  • David Harel, Yishai Feldman. Algorithmics: The Spirit of Computing, Addison-Wesley, Reading, MA, 3rd edition, 2004.
  • 俞征武, 發現演算法, 旗標出版股份有限公司, 2017.

外部連結编辑