NP (複雜度)

非決定性多項式集合（英語：non-deterministic polynomial，縮寫：NP）是計算理論中最重要的集合之一，它包含P和NP-complete。

描述P, NP, NP完全，以及NP困難之間關係的歐拉圖，在假設P≠NP的情況下。

P問題是指在多項式時間內，可以找出解的決定性問題(decision problem)，而NP問題則包含可在多項式時間內驗證其解是否正確，但不保證能在多項式時間內能找出解的決定性問題。NP包含P和NP-complete問題, 因此NP集合中有簡單的問題和不容易快速得到解的難題。

「NP是否等於P」是電腦科學中知名的難題。

定義與推論

決定性問題

一個決定性問題(decision problem)是指其輸出，只有「是」或「否」的問題。例如，搜尋問題為詢問 x 是否出現在一個集合 A 中?若有則輸出「是」，否則輸出「否」。

P問題

當一個決定性問題存在一個能在多項式時間內找出解的演算法時，則稱此問題落在P 的集合中。

有一些決定性問題，人類目前尚無法將他們歸入集合 P 中。為了思考這些問題，於是在一般演算法可採用的功能上，擴增以下虛構的新指令。這些新指令雖然不存在於現實中，但是對探討這些難題的性質及彼此的關係，有很大的幫助。以下是這些虛構的新指令：

1. choice(S)：自集合 S 中，選出會導致正確解的一個元素。當集合 S 中無此元素時，則可任意選擇一個元素。

2. failure()：代表失敗結束。

3. success()：代表成功結束。
其中 choice(S)可以解釋成，在求解的過程中，神奇地猜中集合 S 中其中一個元素，使其結果是成功的；並且這三個指令只需要 O(1)時間來執行。當然，choice(S) 是如何快速猜中的，在此是不需討論的，因為畢竟它只是虛構的。在添加這些虛構功能後，所設計出的演算法，被稱為非決定性演算法(non-deterministic algorithm)；相較之下，原來一般的演算法，就稱為決定性演算法(deterministic algorithm)。利用非決定性演算法，我們定義出另一個集合 NP。

NP問題

當一個決定性問題的解能在多項式時間內被驗證時，則稱此問題落在NP 的集合中。

滿足問題 (satisfiability problem，簡稱 SAT)，就是一個NP中的典型問題。

滿足問題(SAT)

令 x ₁，x ₂，…，x _n 代表布林變數(boolean variables)(其值非真(true)即假(false)的變數)。令-x_i 代表 x_i 的相反數(negation)。一個布林公式是將一些布林變數及其相反數利用而且(and)和或(or)所組成的表達式。滿足問題是判斷是否存在一種指定每個布林變數真假值的方式，使得一個布林公式為真。

輸入:一個 n 個變數的布林公式

例如: (-x ₁∨ -x ₂ ∨ x ₃)∧ (x ₁ ∨ x ₄)∧(x ₂ ∨ -x ₁)

輸出:是否存在一種指定每個布林變數真假值的方式，使得此公式為真？ 例如: 是(當 x ₁=真，x ₂=真，x ₃=真，x ₄=真時，此公式為真)

利用滿足問題可以定義出NP-hard和NP-complete。但是我們需要一個問題轉換的概念。 問題轉換技巧，其所需要轉換的時間皆需在多項式時間(即 O (n^k))內完成。利用此多項式時間的轉換，我們可以將 NP中的難題建立起一些有趣的關係。

問題轉換:針對兩個問題 A 和 B ，如果存在一個 O (n^k)時間的(決定性)演算法，將每一個問題 A 的輸入轉換成問題 B 的輸入，使得問題 A 有解時，若且唯若，問題 B 有解。此關係被稱為，問題 A 轉換成(reduce to)問題 B ，可表示成 A ∝ B 。

一個問題 L 被稱為是 NP-hard，若且唯若，滿足問題轉換成 L(即滿足問題∝L)。 滿足問題是 NP 中的難題，而 NP-hard 的問題則是滿足問題衍生(轉換)出來的。

一個問題 L 被稱為是 NP-complete，若且唯若，L ∈NP 而且 L ∈NP-hard。

史蒂芬庫克(Stephen Cook)證明了一個十分重要的性質：

性質(A)：「任一個 NP 內的問題都可以，在多項式時間內，被轉換成滿足問題。」

性質(B)：「任一個 NP 內的問題都可以，在多項式時間內，被轉換成任一個 NP-complete 問題。」

性質(C)：「任一個 NP 內的問題都可以，在多項式時間內，被轉換成任一個 NP-hard 問題。」

性質(D)：「滿足問題在集合 P 中，若且唯若，P=NP。」

例子

比如說，一個決策性問題:輸入一個整數x, 請回答x是否為偶數(even number)。我們利用一個程式判斷x除以2是否整除即可得到最後結果 。此程式是決定性演算法, 並且其時間複雜度為O(1)=O(n⁰), 因此此問題落入P集合中。

再舉一個例子，下面是滿足問題的一個非決定性演算法。

Algorithm satisfiability (E (x ₁, … , x_n ))

{ Step 1: for i =1 to n do

x_i ←choice (true, false) /*利用 choice 直接猜中 x_i 的真假值*/

Step 2: if E (x ₁, … , x _n) is true then success () /*計算此布林公式是否為真*/

　　　 else failure ();
}

上述的非決定性演算法的時間複雜度為O(n¹)即代表滿足問題落入NP集合中。

參見

• NP完全問題

參考文獻

來源

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 34.2: Polynomial-time verification, pp. 979–983.
• Michael Sipser. Sections 7.3–7.5 (The Class NP, NP-completeness, Additional NP-complete Problems). Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997: pp. 241–271. ISBN 0-534-94728-X. 
• David Harel, Yishai Feldman. Algorithmics: The Spirit of Computing, Addison-Wesley, Reading, MA, 3rd edition, 2004.

• 俞征武, 發現演算法, 旗標出版股份有限公司, 2017.

外部連結

• Complexity Zoo: NP
• Graph of NP-complete Problems
• American Scientist primer on traditional and recent complexity theory research: "Accidental Algorithms"（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）