全变差距离

在概率论中，全变差距离（英语：total variation distance）是概率测度的一种距离。它也是一种统计距离度量，有时也称为统计距离（英语：statistical distance）或变差距离（英语：variational distance）。

定义

设 ${\mathcal {F}}$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个子集上的σ代数，两个概率测度 $P$ 与 $Q$ 在 ${\mathcal {F}}$ 上的全变差距离定义为^[1]

\delta (P,Q)=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\left|P(A)-Q(A)\right|.

粗略地说，这是两个概率分布在同一事件上取值的最大差值。

全变差距离通过Pinsker不等式与Kullback-Leibler散度相联系：

\delta (P,Q)\leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}.

当样本空间 $\Omega$ 是可数集的时候，全变差距离与 $L^{1}$ 范数有等式关系^[2]：

\delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{\omega \in \Omega }|P(\omega )-Q(\omega )|.

^ Chatterjee, Sourav. "Distances between probability measures" (PDF). UC Berkeley. Archived from the original (PDF) on July 8, 2008. Retrieved 21 June 2013.
^ David A. Levin, Yuval Peres, Elizabeth L. Wilmer, 'Markov Chains and Mixing Times', 2nd. rev. ed. (AMS, 2017), Proposition 4.2, p. 48.

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