等效原理

等效原理（德语：Äquivalenzprinzip，英语：equivalence principle），尤其是强等效原理，在广义相对论的引力理论中居于一个极重要的地位，它的重要性首先是爱因斯坦分别在1911年的《关于引力对光传播的影响》及1916年的《广义相对论的基础》中提出来。

等效原理共有两个不同程度的表述：弱等效原理及强等效原理。

对此原理，爱因斯坦曾如是说：“我为它的存在感到极为惊奇，并且猜想其中必有一把可以更深入了解惯性和引力的钥匙。”

爱因斯坦关于惯性质量与引力质量等同性的表述

稍微思考一下就会发现，惯性质量与引力质量的等同性定律等价于另一则断言，即引力场赋予一个物体的加速度与此物体本身的性质无关。在某个引力场中，牛顿的运动方程（完整形式）如下：

(惯性质量) $\cdot$ (加速度) $=$ (引力场强度) $\cdot$ (引力质量).

只有在惯性质量与引力质量在数值上相等时，加速度才会与物体本身的性质无关。

引力理论的发展史

主条目：重力理论史

等效原理的类似思想萌发于17世纪初，当时，伽利略通过实验表明了：测试质量在重力作用下的加速度与该质量的大小无关。

约翰内斯·开普勒利用伽利略的发现，假设了月球在其轨道上停住从而坠向地球时会发生什么事情，他精确地描述了该过程，从中看出他具备等效原理的知识。这个思想实验的推导不需要知道重力是否随距离增大而衰减，或以什么方式衰减，但它需要假定重力与惯性二者等价。

假设相互邻近的两块石头位于世界上的任意位置，并且没有第三个相关的物体对其施加影响，那么，这两块石头（就像两根磁铁针）就会相互靠近并在某个中间点相会，每个石头被拖拽的空间距离是与对方的质量成比例的。假设月球与地球没有（靠animal force或者别的等效力量）维持在各自轨道上运转的话，那么地球就会撞向月球——它会前进1/54的地月距离，而月球也会向地球坠去——它会前进另外的53/54的地月距离，最终他们会在那一点相会。当然我们假设了两者具备相等的物质密度。

——约翰内斯·开普勒，《新天文学》，1609年

1/54的比值是开普勒估算的月球-地球的质量比值，基于它们的直径得出。他的描述的精确表达可以由牛顿定律$F=ma$和伽利略重力观测得到的距离公式$D=(1/2)at^{2}$推导得出。上述2个加速度相等之后就是等效原理。对每个质量来说碰撞前经过的时间是相同的，由此开普勒得出了结论$D_{\mathrm {moon} }/D_{\mathrm {Earth} }=M_{\mathrm {Earth} }/M_{\mathrm {moon} }$，他不需要知道碰撞前经过的时长，也不需要知道重力产生的加速力是否与距离有关、或有怎么样的关系。

牛顿的万有引力理论简化并形式化了伽利略和开普勒的思想。牛顿意识到，除了引力和惯性之外，开普勒的所谓“animal force或者别的等效力量”是不需要的。牛顿发展了开普勒的行星定律，并推导出了引力是如何随距离增大而衰减的。

1907年，阿尔伯特·爱因斯坦严格地提出了等效原理。他注意到，物体以1g的加速度向地心下落（$g=9.81m/s^{2}$是地表的重力加速度），其加速效果等同于，位于太空中的一枚火箭之内观测一个惯性运动的物体，而该火箭正以1g的加速度在做加速运动。爱因斯坦于是陈述为：

我们……认为一个引力场与一个相应的加速参考系在物理上是等效的。

——爱因斯坦，1907年

也就是说，位于地球表面等效于位于一艘正被引擎加速的太空飞船上（飞船远离任何引力源）。在地球表面的等效加速方向是”上“，即与地心相反的方向，相应地，飞船的加速方向与推进器喷出的物质相反。从这个原理中，爱因斯坦推断：自由落体其实是一个惯性运动。正在自由下落的物体并不会觉察出向下加速（即，朝向地球或其它大质量物体），反而只有失重感与零加速。在一个惯性参考系中，物体（以及光子）遵守牛顿第一定律，作匀速直线运动。类似地，在一个弯曲的时空中，一个惯性粒子或一束光的世界线会尽可能的直接（在时间与空间之内）。这样的一条世界线被称为测地线，从惯性参考系的角度看就是一条直线。这就是为什么加速度计在自由落体过程中不会有任何读数，内部测试质量与加速度计本身之间不存在相对运动。

一个例子：一个惯性物体正在空间中沿着测地线运动，它可以被一个巨大的引力质量所捕获并在轨道上绕行，并完全感受不到加速度。这是可能的，因为在巨大的引力质量的附近，时空是高度弯曲的，此时测地线也会向内弯成弧线，并最终环绕着该质量中心，一个自由漂浮的惯性物体就只会沿着这些弯曲的测地线形成椭圆轨道。而在轨道上的加速度计将永远不会出现读数。

相比之下，牛顿力学将引力视为一种”力“，这种力把具有质量的物体拽向另一大质量的物体。在地球表面，引力被地表的阻挡力所抵消。所以在牛顿的物理学中，一个人静止地位于一个大质量（非旋转）物体的表面时，他便处在一个惯性参考系中。种种这些因素促成了如下等效原理的推论，爱因斯坦在1911年将其精确地阐述：  

当一名观察者探测到局部范围内出现力的作用，该力作用于所有物体上，并且作用力与物体的惯性质量成正比，那么，该观察者正处于一个加速参考系之中。

——爱因斯坦

爱因斯坦还提到了2个参考系，K和K'。K是一个均匀的引力场；而K'不存在引力场，但却正在均匀加速，使得两参考系中物体都感受到完全相同的力：  

我们得出了一个关于这个经验法则的非常满意的解释，前提是假定我们认可系统K和K'在物理上是完全等价的。也就是说，我们认可系统K可被视为一艘不在引力场中的飞船，且正在均匀地加速运动。这个关于物理学等价性的假定使我们不可能谈论参考系统的绝对加速度，就像通常的相对性原理禁止我们谈论系统的绝对速度一样。这也使得引力场中所有物体的同等下坠显得理所当然。

——爱因斯坦，1911年

这个发现仅仅是起点，最后被发扬光大成为了广义相对论。爱因斯坦建议应该将它提升到一般性原理的地位，他在构建相对论时将其称为”等效性的原理“：  

只要我们将自己限制在牛顿力学占主导的领域，并只涉及纯粹的力学过程，我们就会确信系统K和K'的等效性。但是我们的这一观点并没有任何更深层的意义，除非系统K和K'在所有物理过程中都是等效的，也就是说，除非一切自然定律在K中与K'中完全一致。假定了这一点之后，我们就得出一个具有重大意义的原理——如果它真的是正确的话。因为那样的话，我们就可以通过理论上研究均匀加速参考系中的物理过程，进而获取关于相似引力场中物理过程的知识。

——爱因斯坦，1911年

爱因斯坦联合了等效原理与狭义相对论，预言了引力势中的时钟会有流速变化，而且光线在引力场中会发生偏转弯曲，这个预言甚至早于他发展出弯曲时空的概念。

爱因斯坦描述的初始版本的等效原理得出了结论：自由落体运动和惯性运动在物理上是等效的。这个形式的等效原理可以陈述如下。处于无窗户的房间中的观察者无法区分自己正在地球表面、还是在深空中以1g加速运动的飞船中。严格来说这是不正确的，因为巨大质量的物体会引发潮汐现象（由于引力场的强度和方向的差异），而加速运动的深空飞船中却没有这个现象。因此，这个房间应该是足够小的，以至于潮汐现象可以被忽略。

虽然等效原理指导了广义相对论的发展，但它却不是相对论的一个基本原理，它只是相对论的几何性质的一个自然结果。在广义相对论中，自由下落的物体沿着时空的测地线运动，我们感知到的重力，其实是因为我们没有办法沿着那些时空测地线运动，地球表面物质的力学阻挡让我们没法这么做。

自从爱因斯坦发展出了广义相对论，人们需要一种框架来检验这个理论，并与其它可能的兼容狭义相对论的引力理论作比较。罗伯特·亨利·迪克发展出了这一框架，作为他用以检验广义相对论的方案的一部分。2个新的原理被提出来，即所谓的爱因斯坦等效原理和强等效原理，两者都假定弱等效原理作为出发点。它们的区别只在于，是否适用于引力实验。

另一个需要澄清的事情是，等效原理假定了1g的恒定加速度，但并没有考虑产生1g所带来的力学影响。如果我们确实考虑力学影响的话，那我们必须假定上述的无窗户房间具有固定的质量。对它进行1g的加速意味着，对它有一个恒定的作用力，力的大小$F=mg$（其中m是房间整体连同其中观察者的质量）。现在，如果观察者在房间内跳起，那么房中地板上某个物体的重量将会暂时减小，这是因为跳起的观察者反向推了地板，导致房间的加速度暂时减小了。当观察者在空中时，房间的整体质量减小了，于是得以拥有更大的加速度，导致地板上那个物体的重量又会增加。当观察者落地时，再次反向推了地板，该物体重量会再次减小。之后，它的重量最终会恢复原状。为了使所有这些效应与一颗1g的行星上所作的测量相同，该无窗户房间必须假定与那颗行星具有相等的质量。此外，该无窗户房间不能引起它自身的引力效应，否则场景就变得更复杂了。这些无疑都是学术性的，但如果我们想用实验来演示1g引力和1g加速度的等效性的话，在或多或少的精度上也是具备操作性的。

弱等效原理

弱等效原理原是指观测者不能在局部的区域内分辨出由加速度所产生的惯性力或由物体所产生的引力，而它是由引力质量与惯性质量成正比例这一事实推演出来，这个关系首先是由伽利略及牛顿用一系列的实验断定出来。

伽利略及牛顿的实验

早在17世纪，伽利略已利用物体从斜面滚下不同的距离所需要的时间，去证明物体于地球上的自由下落的加速度是一个常量；另外，伽利略亦发现单摆的周期只与摆长有关，而与摆锤的质料无关。稍后的牛顿则做了两个等长而同形状的单摆，其中一个的摆锤是用金做的；而另一个摆锤用等重的银、铅、玻璃、沙等不同物料制成。而牛顿在多次实验均未能观察到它们之间的周期差异。

从牛顿力学来说，质量本身被付予两种不同的意义：一个从动力学方程（牛顿第二定律）引入：

$\mathbf {F} =m_{\text{I}}\mathbf {a}$

$m_{\text{I}}\,$是指惯性质量，代表着物体运动的惯性，即是物体抵抗运动变化的程度；另一方面，从牛顿万有引力定律：

$\mathbf {F} _{\text{G}}=-G{M_{\text{G}}m_{\text{G}} \over r^{2}}\mathbf {e_{r}} =m_{\text{G}}\mathbf {g}$

可知$m_{\text{G}}\,$是代表物体引力大小的一个参数，称作引力质量。

至此可从定量分析去理解两种不同物理量的关系：

从斜面的落体运动分析，可知

$m_{\text{I}}\mathbf {a} =m_{\text{G}}\mathbf {g} \sin \theta$

$\mathbf {a} =\left({\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}\right)\mathbf {g} \sin \theta$

由于实验结果是：自由下落的加速度是一个常量，所以：

$m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,$

但这个实验的精确度不及单摆那么高，从小幅单摆的分析可知：

$m_{\text{I}}l{\ddot {\theta }}=m_{\text{G}}g\theta$

${\ddot {\theta }}=\left({\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}\right)\left({\frac {g}{l}}\right)\theta$

则周期$T\,$则表示为：

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{\text{I}}l}{m_{\text{G}}g}}}$

由于实验的结果是：单摆的周期只与摆长有关，而与摆锤的质量无关；所以牛顿以${\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}=1+O(10^{-3})\,$的精确度于1680年接受了$m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,$的结论。

在牛顿之后，厄阜于1890年25年间，以铂为基准用八种不同的材料去进行拢扭实验，去测量引力质量与惯性质量的比例与1的偏离，从实验的精确度，厄阜的结论是：

${\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}=1+O(10^{-8})\,$

到了1962年，迪克改进了厄阜拢扭实验之精确度至$10^{-11}$；到了1971年，布拉金斯基及潘洛夫等人又将实验之精确度推至$10^{-12}$。此外还有别的科学家用实验测定了原子和原子核的结合能所对应的引力质量与惯性质量之比，亦没有发现对1之偏离（虽精确度不及厄阜拢扭实验）。因此，在目前的精确度甚高之下，可证实：

$m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,$

从两种质量的观念上来说，他们是本质不同的物理量；但如果两者的值之比例对一切物体相同，在实用上可把他们当同一个量来对待（即是物体的质量），这就是引力质量与惯性质量成正比例；在适当的单位制下，即令比例常数成为$1$，引力质量与惯性质量相等。

爱因斯坦的思想实验

自牛顿至爱因斯坦的200余年间，人们对引力质量及惯性质量相等的事只是当成偶然的事件，并没有深刻去研究，直至爱因斯坦完成狭义相对论后，要处理引力理论和相对性原理的调和问题，方始注意。爱因斯坦曾说：

引力场中一切物体都具有同一的加速度，这条定律也可表述为惯性质量同引力质量相等，它当时就使我认识到它的全部重要性。我为它的存在感到极为惊奇，并且猜想其中必有一把可以更深入了解惯性和引力的钥匙。

爱因斯坦用一个思想实验来说明：在遥远的宇宙深处（惯性参考系），有一个密封的太空船在$+z$方向向上加速，其加速度为$9.8\ \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}$，假设密封的太空船内有一个太空人及一个铅球，该太空人在太空船内拿起一块铅球，他感受到铅球有重量；不单如此，他自己亦感受到自身有重量，他认为这有两个可能性：一是太空船在太空中正在$+z$方向向上（相对于太空人）加速，虽然附近没有任何星球或重力场，太空人仍会感觉到因铅球及自身的惯性关系有下坠的倾向，这就是惯性力。另一个可能性是太空船可能停在一颗行星上，其引力场强度是$9.8\ \mathrm {N} \cdot \mathrm {kg} ^{-1}$，它利用万有引力来拉扯著铅球及自己，使他感到铅球及自己的重量。

另一个思想实验是：在大厦内的电梯不幸地断了钢索，电梯正以加速度$9.8\ \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}$向下加速，假设电梯槽无限长，电梯内有乘客及一个铅球，里面的乘客可观察到铅球及自己会浮在半空，即是“失重”。他认为这有两个可能性：一是电梯在电梯槽中正在$-z$方向向上（相对于电梯槽）加速，乘客及铅球正跟着电梯加速。另一个可能性是电梯可能在遥远的宇宙深处，其引力场强度是$0\ \mathrm {N} \cdot \mathrm {kg} ^{-1}$，没有万有引力来拉扯著铅球及自己，使他感受不到铅球及自己的重量；由于乘客认为没有任何力施加在自己及铅球上，所以加速度为$0\ \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}$，是惯性参考系。

现在可从定量的分析去讨论上述两种情况，从第一个思想实验可知：

$\mathbf {R} =m_{\text{I}}\mathbf {a}$（从太空船外）

$\mathbf {0} =\mathbf {R} -m_{\text{G}}\mathbf {g} ^{\prime }$（从太空船内）

由于$m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,$及$\mathbf {a} =\mathbf {g} ^{\prime }\,$，所以法向反作用力$\mathbf {R} \,$相同，密封太空船内的太空人不可能分辨出重力所做成的重量或由惯性做出的“重量”。

由第二个思想实验可知：

$m_{\text{I}}\mathbf {a} =m_{\text{G}}\mathbf {g}$（从电梯外）

$\mathbf {a} ^{\prime }=\mathbf {0}$ 及 $\mathbf {g} ^{\prime }=\mathbf {0}$（从电梯内）

由于$m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,$及法向反作用力$\mathbf {R} =\mathbf {0} \,$（任何物体没有与电梯接触），电梯内的乘客不可能分辨出加速度所抵消的引力场强度（假惯性参考系）或由真正为零的引力场强度及加速度（真惯性参考系）。

由此可见，无论任何动力学方法，只要有$m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,$，是不能分辨引力场强度及加速度的动力学效应；甚至或是惯性参考系和非惯性参考系的动力学效应都是不能分辨，其中的两类观察者都是能用各自的方式去正确描述事实，所以这两种分析方法是等效的，这就是弱等效原理。

引力、惯性、狭义相对论及弱等效原理

弱等效原理的论证，一直只是用经典力学的方法去尝试分辨惯性参考系和非惯性参考系，并没有提及用其他方法，如电磁学方法；另外，惯性质量及重力质量的关系能否再用狭义相对论的方式再验证一次？毕竟只用上述方法是不足以说明在经典力学不适用的情形下惯性质量及重力质量依然有比例的关系。爱因斯坦于是利用质能关系$E=m_{\text{I}}c^{2}\$去说明在相对论的效果被考虑的情形下，若果假定一点的引力场（$-z$方向）及一点的加速参考系（$+z$方向）的物理学效应完全一样，那么不但惯性质量及引力质量依然有比例的关系，而且时间、空间都受到引力场的影响。

爱因斯坦的论证如下：设两个备有量度仪器的物质体系 $S_{1}$ 和 $S_{2}$，位于存在重力的惯性参考系 $K$ 之 $z$ 轴上，彼此相隔为 $h\ \mathrm {m} \,$，令 $S_{2}$ 的引力势比 $S_{1}$ 大 $gh\ \mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {s} ^{-2}\,$（即是 $S_{1}$ 比 $S_{2}$ 更近引力源）。有一定的能量$E\,$以辐射形式从 $S_{2}$ 发射到 $S_{1}$。这时可利用量度仪器去量度 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的能量，将这些装置带到 $z$ 轴的同一位置之上去进行比较，结果理应完全一样。但我们不能先验地论断引力场对于辐射传递能量的过程没有影响。但我们可以用一个均加速、没有引力的参考系 $K'$ 去代替存在重力的惯性参考系 $K$ 去进行测量。我们用 $K'$ 相对一个没有加速的 $K_{O}$ 去运动，去分析由 $S_{2}$ 辐射能量至 $S_{1}$ 的过程。当 $S_{2}$ 辐射能量至 $S_{1}$ 的瞬间，设 $K'$ 相对于 $K_{O}$ 的速度为 $0$，当时间过去了${h \over c}\,$，辐射会到达 $S_{1}$ 而 $K'$ 相对于 $K_{O}$ 的速度为 $v=g{h \over c}\,$，根据狭义相对论和多普勒效应， $S_{1}$ 所得到的能量不是 $E_{2}\,$ 而是比$E_{2}\,$ 大的 $E_{1}\,$。因为$K'$做均加速运动，根据狭义相对论，当物体的速度越接近光速，越难加速，因此正在做均加速运动的$K'$的速度必定远小于光速。$E_{1}$和$E_{2}$的关系是

$E_{1}=E_{2}\gamma (1+{v \over c})=E_{2}\gamma (1+{gh \over c^{2}})\,$

由于$K'$的速度远小于光速，$\gamma$近似于$1$，故$E_{1}$和$E_{2}$的关系为

$E_{1}=E_{2}(1+{v \over c})=E_{2}(1+{gh \over c^{2}})\,$

根据以上的假定，同样的过程发生在存在重力的惯性参考系 $K$ 之上会有同样的效果，可用引力势差$-\Delta \Phi >0\,$去代替 $gh\,$，只要设 $S_{1}$ 关于引力的任意常数为 $0$ 即可，结果是

$E_{1}=E_{2}-{E_{2} \over c^{2}}\Delta \Phi \,$

在式子中，$E_{1}\,$ 比 $E_{2}\$ 多了 ${E_{2} \over c^{2}}\Delta \Phi \,$ 的引力势能，而辐射本身就相当于多了一个引力质量 $m_{\text{G}}={E_{2} \over c^{2}}\$，但由于$E=m_{\text{I}}c^{2}\$，这个引力质量不但必与惯性质量有关，而且必需要相等。爱因斯坦再用以下的过程详细说明这一点：

1. 把能量 $E\,$ （在 $S_{2}$ 量度出的）以辐射形式从 $S_{2}$ 发射至 $S_{1}$ ，用上述之结果，可知 $S_{1}$ 吸收了能量 $E(1+{gh \over c^{2}})\,$ （在 $S_{1}$ 量度出的）。
2. 把一个具有引力质量 $m_{\text{G}}\,$ 的物体 $W$ 从 $S_{2}$ 下降至 $S_{1}$ ，这过程中 物体 $W$ 向外做了功 $m_{\text{G}}gh\,$。
3. 当物体 $W$ 在 $S_{1}$ 时，能量 $E\,$ 从 $S_{1}$ 输送至物体 $W$ ，使物体 $W$ 的引力质量增加至 $m'_{\text{G}}\,$ 。
4. 把物体 $W$ 升回至 $S_{2}$ ，外界需要做功，其值即是 $m'_{\text{G}}gh\,$ 。
5. 把能量 $E\,$ 从物体 $W$ 送回至 $S_{2}$ 。

这个过程的结果只是能量在 $S_{1}$ 增加了 $E({gh \over c^{2}})\,$，而能量又以做功的形式 $m'_{\text{G}}gh-m_{\text{G}}gh\,$ 给出，所以

$E({gh \over c^{2}})=m'_{\text{G}}gh-m_{\text{G}}gh\,$

或者

${E \over c^{2}}=m'_{\text{G}}-m_{\text{G}}\,$

引力质量的增加值等于能量的增加值，能量的增加值又要等于惯性质量的增加值。

其实这等效性可从参考系 $K$ 及 $K'$ 之间的等效性得出的：由于 $K$ 中的引力质量完全等于 $K'$ 中的惯性质量，因此能量本身必然有引力质量，其数值等于它的惯性质量。如果在 $K'$ 中（即是均加速参考系）有一个物体，质量为 $M_{0}\,$ 的挂在测力计上，由于物体的惯性，测力计会得出表观重量 $M_{0}g\,$。如果把能量 $E\,$ 附加至物体之上，测力计必然会得出表观重量 $(M_{0}+{E \over c^{2}})g\,$。根据假定，在参考系 $K$ 中 （在均匀引力场中） 重作这个实验时，必然会有相同的结果。

所以，惯性参考系和非惯性参考系的任何效应都是不能分辨，其中的两类观察者都是能用各自的方式去正碓描述事实；而非惯性参考系的效应可以归于惯性参考系中引力的效应，反之亦然，而这两种效应是等效的。

弱等效原理、光的引力偏折与引力红移—时空弯曲的本质

从弱等效原理，可以推论出光的引力偏折及引力红移这二个经验的结果，并可证明用平直几何去描述存在引力的时空之不适用性。

光的引力偏折

假设有一个“静止”的电梯中的观察者看到外面射进去的光是直线进行的；当电梯向上加速时，他会发现光会沿向下的弯曲曲线行进，光沿向下的曲线弯曲是因为参考系被加速；由于等效原理成立，光在引力场中必然有相同的现象。

引力红移

再用刚才参考系的 $K'$ 去说明，现在 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 分别换上了测定频率的装置，有一辐射的频率为$f_{2}\,$由 $S_{2}$ 向 $S_{1}$ 辐射，在 $S_{1}$ 其频率不会再是$f_{2}\,$而是较大的$f_{1}\,$，即是“蓝移”，并且

$f_{1}=f_{2}(1+{v^{2} \over 2c^{2}})=f_{2}(1+{gh \over c^{2}})\,$

因为我们可以再引入一个没有加速度的参考系 $K_{O}$，在辐射开始发射时， $S_{1}$ 相对 $K_{O}$ 的速度为 $0$；在辐射到达 $S_{1}$ 后， $S_{1}$ 相对 $K_{O}$ 的速度为 $g{h \over c}\,$。根据多普勒效应及狭义相对论，作一级近似，便会得到上述蓝移结果。 由于 $K$ 及 $K'$ 的等效性，可知这方程对 $K$ 参考系亦有效，只要这坐标系中亦有这辐射输送过程。由此可知，一个辐射在 $S_{2}$ 于一定的引力势$\Phi _{2}\,$之下发射至 $S_{1}$ （引力势为$\Phi _{1}\,$），引力势差为$\Delta \Phi =\Phi _{1}-\Phi _{2}=-gh<0\,$。在应用位于 $S_{2}$ 的锺测得辐射的周期为$T_{2}\,$而得知频率为$T_{2}^{-1}=f_{2}\,$，在 $S_{1}$ 所测得的频率为$f_{1}=f_{2}(1-{\Delta \Phi \over c^{2}})\,$，而周期为

$T_{1}=f_{1}^{-1}=(f_{2}(1-{\Delta \Phi \over c^{2}}))^{-1}=T_{2}(1+{\Delta \Phi \over c^{2}})\,$

即是在 $S_{1}$ 的周期比 $S_{2}$ 的周期短，由此可知靠近引力源的地方的时间比远离引力源的地方的时间慢。

其实蓝移及红移是相对的，如果辐射从 $S_{1}$ 向 $S_{2}$ 发射，便会得到红移的结果，习惯上会把这现象称为“引力红移”。

时空弯曲的本质

Schild 在 60 年代提出一个论据，等效原理的成立表明自洽的引力理论无法在狭义相对论的框架内完成。

他的证明如下：考虑一个观察者在地球表面上高$z_{1}\,$ 处，有另一个观察者在地球表面上高$z_{2}=z_{1}+h\,$ 处彼此相对静止（即是上述的 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ）。观察者可通过观察来得知彼此相对静止，并且他们相对于地球的洛仑兹参考系也是静止的。在这条件下在 $S_{1}$ 发出固有频率$f_{1}\,$的电磁讯号，在 $S_{2}$ 接收到，频率为$f_{2}\,$；为了识别讯号， $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的观察者约定讯号有$N\,$个周期长的脉冲，则发射时所需的时间是$\Delta t_{1}\,$由$N=f_{1}\Delta t_{1}\,$定出。而在 $S_{2}$ 的接收者所需要的吸收时间$\Delta t_{2}\,$是由$N=f_{2}\Delta t_{2}\,$定出。由于根据引力红移：$f_{1}>f_{2}\,$，所以必然有$\Delta t_{1}<\Delta t_{2}\,$，时间间隔也就不同了，而人们可在固定的$\Delta t\,$ 后再发射多一次讯号。把这个情况用狭义相对论的时空图去分析，光在时空图沿 $45^{\circ }$ 的零线移动，在上述的情况下在时空图中已画了一个平行四边形，但它的对边不对等，即是$\Delta t_{1}<\Delta t_{2}\,$；在平直时空中，这是不可能的。有人提出一个问题：既然光在引力场传播，光线必然弯曲，而不会沿 $45^{\circ }$ 的零线移动。但重要的是：引力场是静止的，质验者也没移动，所以实验中没有装置随时间变化，所以什么的光线移动的路径必然是全等的，结果仍是$\Delta t_{1}<\Delta t_{2}\,$。即是该平行四边形无法合拢，如要合拢即要平行四边形“拱”起来，但在平直时空中是不可能的。

以上论证并未提供引力场所需的弯曲时空，但已说明了如果等效原理要成立，平直时空中要完成引力理论是不可能的；甚至是用全域的加速参考系去正确描述引力也是不可能的。

强等效原理

强等效原理是指在时空区域的一点内的引力场可用相应的局域惯性参考系去描述，而狭义相对论在其局域惯性参考系中完全成立。

弱等效原理并不能推演出强等效原理，而只是强等效原理的一个抽象结果。利用广义相对论几何方式（时空度规张量、时空曲率张量）去描述引力（引力场强度、引力势）的基础即在此原理之上。由于引力场本身是与引力场源的距离有关，形成了引力场在时空分布中并不均匀，是不能用一个全域的加速参考系去描述，即是用一个全域的加速参考系去抵消各时空点上的引力。但每一点的引力场是有一个相应的引力场强度，可用有一个与之相等的加速度（相对于静止的观察者）的局域的加速参考系，亦即是局域惯性参考系（相对于加速的观察者）去描述，即是用一个局域的加速参考系去抵消各相应的时空点上的引力，然后将各个局域惯性参考系的关系统合起来（即是曲率和能动张量的关系），就可对全域的时空作抽述（例如运动定律）。

例如在狭义相对论中成立的能量-动量守恒定律有以下的形式：

$T_{,\nu }^{\mu \nu }=0\,$

在广义相对论中有以下的形式：

$T_{;\nu }^{\mu \nu }=T_{,\nu }^{\mu \nu }+\Gamma _{\rho \nu }^{\mu }T^{\rho \nu }+\Gamma _{\rho \nu }^{\nu }T^{\rho \mu }=0\,$

后两项可看作加速度或引力场对守恒定律的影响。

等效原理的实验验证

据说16世纪伽利略在意大利进行了著名的比萨斜塔实验，但未有人证明是否确有其事。数百年来，物理学家进行了众多实验对等效原理进行检验。1971年，执行阿波罗15号登月任务的宇航员大卫·斯科特在月球上当着电视摄像机的面，将锤子和羽毛同时扔出，两样东西同时掉到了月球表面。他喊道：“你们知道吗？伽利略先生是正确的。”

当代测量激光从月球反射回到地球的时间得到的结果是等效原理在$10^{-12}$的精度上成立。法国计划在2010年发射MICROSCOPE卫星，测量精度可达$10^{-15}$。意大利计划发射伽利略·伽利雷卫星（GG）将在$10^{-17}$的精度上对等效原理进行检验。斯坦福大学和一个国际研究小组合作的等效原理卫星检测（STEP）计划测量精度将达到$10^{-18}$。

2018年，西维吉尼亚州的葛林·班克天文台利用一个三星系统再次验证等效原理。PSR J0337+1715是由一个中子星与两个白矮星组成的三星系统。从准确地追踪这三颗星的足迹，研究员证实，特别结实的中子星与比较疏松的白矮星都以同样的方式“掉落”，换句话说，它们都遵守强版等效原理。

参考文献

广义相对论的基础

参见

• 相对论
• 狭义相对论
• 广义相对论
• 马赫原理