指标的上升和下降

在数学与数学物理中，给定流形 M 上一个张量，若在 M 已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个 $(k,l)$ 张量变成一个 $(k+1,l-1)$ 张量（上升）或一个 $(k-1,l+1)$ 张量（下降）。 这里记号 $(k,l)$ 用于表示张量的秩 $k+l$，有 $k$ 个上指标和 $l$ 个下指标。

可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做缩并。下文在对重复指标 $j$ 求和时使用爱因斯坦记号。

乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标：

$g^{ij}A_{j}=A^{i},$

而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标：

$g_{ij}A^{j}=A_{i},$

对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆：

$g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Trg=N.$

这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。

广义相对论中的例子

闵可夫斯基空间具有度量张量

$g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

共变电磁张量由下式给出

$F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$

注意：一些教材，比如 Griffiths，可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号，参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c；他们使用高斯单位，这里使用国际单位制。

为了得到共变张量 $F_{\mu \nu }\,$，我们用

$F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }F^{\kappa \lambda }\,$

注意因为 $g_{\mu \nu }\,$ 是对角的，上式中许多项其实没有：

$F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }g_{\nu \nu }F^{\mu \nu }\,$

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

$F_{ij}=g_{ii}g_{jj}F^{ij}=F^{ij}\,$

因为度量张量中的因子都是 -1。

$F_{ii}=(g_{ii})^{2}F^{ii}=F^{ii}\,$

$F_{0i}=g_{00}g_{ii}F^{0i}=-F^{0i}\,$

类似

$F_{i0}=-F^{i0}\,$

将它们放在一起，我们得到：

$F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$

相关条目

• 爱因斯坦记号
• 度量张量
• 音乐同构