西尔维斯特矩阵

西尔维斯特矩阵，是与两个多项式相关的矩阵，从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。

定义

设p和q为两个多项式，次数分别为m和n。因此：

$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.$

于是，与p和q相关的西尔维斯特矩阵，就是通过以下方法得到的矩阵$(n+m)\times (n+m)$：

• 第一行为：

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• 第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。
• 下面的(n-2)行也是用这种方法得出，每次都往右移一列。
• 第(n+1)行为：

${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• 余下的行仍然是每次都往右移一列。

因此，如果我们设m=4和n=3，则矩阵为：

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$

应用

西尔维斯特矩阵用于交换代数中，例如测试两个多项式是否有一个（非常数）公因式。确实，在这种情况下，相关的西尔维斯特矩阵的行列式（称为两个多项式的结式）等于零。反过来也成立。

以下线性方程组的解

${S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

其中$x$是大小为$n$的向量，$y$是大小为$m$的向量，由满足下式的多项式对$x,y$（次数分别为$n-1$和$m-1$）的系数向量构成：

$x\cdot p+y\cdot q=1$

这就是说，西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解，其中$\deg x<\deg q$且$\deg y<\deg p$。

这样，西尔维斯特矩阵的秩决定了$p$和$q$的最大公因式的次数：

$\deg(\gcd(p,q))=m+n-\mathrm {rank} ~S_{p,q}$

参考文献

• 埃里克·韦斯坦因. Sylvester Matrix. MathWorld.