费马-卡塔兰猜想

数论上,费马-卡塔兰猜想费马大定理卡塔兰猜想的推广,而这猜想认为,以下的等式

1

仅有有限多个彼此互质,且满足下列条件的解:

2

这个给出条件的不等式是猜想的必要成分,而这是因为没有这不等式的话,这结果就会有无限多的解,像例如在的状况下,显然有无限多的解;而在的状况下该等式就是毕达哥拉斯定理,而目前已知有无限多个毕氏三元数存在。

已知解

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截至2015年为止,等式(1)已知有十个满足不等式(2)的解,而这些解如下:[1]

  (在 的状况下这满足不等式(2))
 
 
 
 
 
 
 
 
 

根据在普雷达·米哈伊列斯库英语Preda Mihăilescu于2002年证明的卡塔兰猜想,这些等式中的第一个,也就是 ,是唯一满足 其中一个是1的解。尽管因为 可以是大于6的任意数之故,因此 等同于有无限多解,这些解只对 这三元数给出一组解。

部分结果

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根据利用了法尔廷斯定理的达尔蒙-关维定理(Darmon–Granville theorem),对于任意特定不等式(2)的三元数组 ,等式(1)仅有有限解;[2][3]:p. 64然而完整的费马-卡塔兰猜想强于此,而这是因为完整的猜想允许 这三个指数项是任意数之故。

abc猜想可导出费马-卡塔兰猜想。[4]

亦可见贝亚尔猜想英语Beal conjecture一文的内容以得知已证实不可能的指数组合;而贝亚尔猜想为真,当且仅当所有的费马-卡塔兰猜想都有   

参见

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参考资料

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  1. ^ Pomerance, Carl, Computational Number Theory, Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press: 361–362, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 .
  2. ^ Darmon, H.; Granville, A. On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr. Bulletin of the London Mathematical Society. 1995, 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513. 
  3. ^ Elkies, Noam D. The ABC's of Number Theory (PDF). The Harvard College Mathematics Review. 2007, 1 (1) [2023-01-10]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-10). 
  4. ^ Waldschmidt, Michel. Lecture on the   conjecture and some of its consequences. Mathematics in the 21st century (PDF). Springer Proc. Math. Stat. 98. Basel: Springer. 2015: 211–230 [2023-01-10]. MR 3298238. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. (原始内容存档 (PDF)于2023-12-03). 

外部链接

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