費馬-卡塔蘭猜想

在數論上，費馬－卡塔蘭猜想是費馬大定理與卡塔蘭猜想的推廣，而這猜想認為，以下的等式

$a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad$

1

僅有有限多個$a,b,c$彼此互質，且$m,n,k$滿足下列條件的解：

${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.$

2

這個給出$m,n,k$條件的不等式是猜想的必要成分，而這是因為沒有這不等式的話，這結果就會有無限多的解，像例如在$k=1$的狀況下，$a^{m}+b^{n}=c$顯然有無限多的解；而在$m=n=k=2$的狀況下該等式就是畢達哥拉斯定理，而目前已知有無限多個畢氏三元數存在。

已知解

截至2015年為止，等式(1)已知有十個滿足不等式(2)的解，而這些解如下：

$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$ （在$m>6$的狀況下這滿足不等式(2)）

$2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$

$7^{3}+13^{2}=2^{9}\;$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$

根據在普雷達·米哈伊列斯庫於2002年證明的卡塔蘭猜想，這些等式中的第一個，也就是$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$，是唯一滿足$a,b,c$其中一個是1的解。盡管因為$m$可以是大於6的任意數之故，因此$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$等同於有無限多解，這些解只對$(a^{m},b^{n},c^{k})$這三元數給出一組解。

部分結果

根據利用了法爾廷斯定理的達爾蒙－關維定理（Darmon–Granville theorem），對於任意特定不等式(2)的三元數組$(m,n,k)$，等式(1)僅有有限解；然而完整的費馬－卡塔蘭猜想強於此，而這是因為完整的猜想允許$m,n,k$這三個指數項是任意數之故。

abc猜想可導出費馬－卡塔蘭猜想。

亦可見貝亞爾猜想一文的內容以得知已證實不可能的指數組合；而貝亞爾猜想為真，當且僅當所有的費馬－卡塔蘭猜想都有$m=2$、$n=2$或$k=2$。

參見

• 冪和

外部連結

• Perfect Powers: Pillai's works and their developments. Waldschmidt, M. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）