双调和方程式
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在数学中,双调和方程是一个四阶偏微分方程式,出现在连体力学,包括线性弹性理论和史托克流的解。写成
或
或
为四阶的 Nabla算子,或是拉普拉斯算子的平方,称为双调和算子。 在 n 维座标下,以爱因斯坦求和约定可写成
例如,在三维笛卡儿坐标系的双调和方程式写做
另外一个例子,在 n-维欧几里得空间,
其中
在 n=3 和 n=5 才能行成双调和方程式。
双调和方程式的解为双调和函数。任何调和函数都是双调和函数,但双调和函数不一定是调和函数。 在二维极坐标中,双调和方程为
可用分离变数法求解,其解为 Michell solution 。