用户:Zao/沙盒

密率

以 $355\div 113$ 为例

${\begin{array}{lr}&3_{.}141592\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {339\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&16\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {113\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&47\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {452\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&18\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {113\ \ \ \ \ \ \ }}\\&67\ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {565\ \ \ \ \ }}\\&105\ \ \ \ \ \\&{\underline {1017\ \ \ }}\\&33\ \ \ \\&{\underline {226\ }}\\&104\ \\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$

约率

以 $22\div 7$ 为例

${\begin{array}{lr}&3_{.}14\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {21\ \ \ \ \ }}\\&10\ \ \ \\&{\underline {7\ \ \ }}\\&30\ \\&{\underline {28\ }}\\&2\ \\\end{array}}$

得 $22\div 7=3.14..0.02$

商除法

传统除法算法，源于筹算，在《孙子算经》中有论述。但其时尚无“商除”之名，此名首见于杨辉所著《杨辉算法》的《算法通变本末》。

商除法求约率

以约率为例。为简单起见，先以两个算盘（一个记录商，一个记录馀）说明之。

（例）$22\div 7$

• 第一位

置数			估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$			减积 $-3\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}21}}$
		→			→
$000$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}22}}00$ ($22.00$)		${\mathbf {\color {Red}3}}00$ ($3.00$)	$2200$ ($22.00$)		$300$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}01}}00$ ($1.00$)
${\begin{array}{lr}&\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}22}}}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}21}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$

• 第二位

			估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$			减积 $-1\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}7}}$
		→			→
$300$ ($3.00$)	$0100$ ($1.00$)		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$ ($3.10$)	$0100$ ($1.00$)		$310$ ($3.10$)	$0{\mathbf {\color {Red}03}}0$ ($0.30$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}\ \ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ \ }}\\&10\ \ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\ \\\end{array}}$

• 第三位

			估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}4}}$			减积 $-4\times 7={\mathbf {\color {Red}28}}$
		→			→
$310$ ($3.10$)	$0030$ ($0.30$)		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$ ($3.14$)	$0030$ ($0.30$)		$314$ ($3.14$)	$00{\mathbf {\color {Red}02}}$ ($0.02$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}1\ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1{\mathbf {\color {Red}4}}\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}14\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\ \\\end{array}}$

得到 $22\div 7=3.14..0.02$。

商除法求密率

而实际在计算时，会使用一个算盘同时放置商数和馀数，就是分区放。要如何有效利用有限的档位，又不影响计算，其规律就是够除，隔位置商；不够除，挨位置商。

以密率为例，说明完整的商除法。

以 $355\div 113$ 为例

• 第一位

置数		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$。够除，隔位置商。		减积 $-3\times 113=-{\mathbf {\color {Blue}339}}$
	→		→
$00$"$355000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}0$"$355000000$		$30$"${\mathbf {\color {Red}016}}000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}339}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第二位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。够除，隔位置商。		减积 $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$310$"$16000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$16000000$		$310$"${\mathbf {\color {Red}047}}00000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47}}\\\end{array}}$

• 第三位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}4}}$。够除，隔位置商。		减积 $-4\times 113=-{\color {Blue}452}$
	→		→
$3100$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}0$"$4700000$		$3140$"${\mathbf {\color {Red}018}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}452}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\\\end{array}}$

• 第四位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。够除，隔位置商。		减积 $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$31400$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$180000$		$31410$"${\mathbf {\color {Red}067}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\\\end{array}}$

• 第五位

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}5}}$。够除，隔位置商。		减积 $-5\times 113=-{\color {Blue}565}$
	→		→
$314100$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}0$"$67000$		$314150$"${\mathbf {\color {Red}105}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&67\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\&{\underline {-565}}\\&105\\\end{array}}$

• 第六位。注意，这位是不够除，挨位置商。

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}9}}$。不够除，挨位置商。		减积 $-9\times 113=-{\color {Blue}1017}$
	→		→
$314150$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"$10500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}0033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&1050\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}1017}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\\\end{array}}$

• 第七位。

前次结果		估商 估为 ${\mathbf {\color {Red}2}}$。够除，隔位置商。		减积 $-2\times 113=-{\color {Blue}226}$
	→		→
$31415900$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}0$"$330$		$31415920$"${\mathbf {\color {Red}104}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&33\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141592\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}226}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}104}}\\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$

归除法求约率

以约率为例。

以 $22\div 7$ 为例

七归

置数		七二下加六 商设为 $2$ 下一档 $+6$		逢七进一 商$+1$ 本档$-1$。		七一下加三 商设为 $1$ 下一档 $+3$		七三四馀二 商设为 $4$ 下一档 $+2$
	→		→		→		→
${\displaystyle }$"$2200$		${\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}8}}00$		${\mathbf {\color {Red}31}}$"$00$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}3}}0$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}2}}$
${\begin{array}{lr}7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}2}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}14}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}8}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&-14\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ }}\\&{\underline {-21\ \ }}\\&10\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21.7\ \ }}\\&30\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}4}}\\\end{array}}$

得 $22\div 7=3.14..0.02$

归除法求密率

跟单归法类似，也是借助九归歌。可以理解成使用九归歌来估商。

以 $12345\div 321$ 为例，可以先用 300 来估商，因此使用口诀中的三归口诀。口诀已完成了 300 的减积（如“三一三馀一”中，馀一的部分已加入下一档）。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念：除数的首数称为归，除数的首数以外的数称为除。除数为 321 的话，称作3归21除，意味著用 3归求商及其减积，再以 21 来完成乘下的减积。

减积后，有可能发现的估商需要调整。若过小，需要增商，这部分口诀中已包含“逢 n 进为十”；若过大，则需退商，则有退商口诀：

• 一归：无除起一下还一
• 二归：无除起一下还二
• 三归：无除起一下还三
• 四归：无除起一下还四
• 五归：无除起一下还五
• 六归：无除起一下还六
• 七归：无除起一下还七
• 八归：无除起一下还八
• 九归：无除起一下还九

这口诀有明显规律：“无除起（也有作“退”）一下还 n”，无需特别记忆。

另外，也有可能发现在某些情况（即除数、被除数差不多大，却又不够除时）下，无法估商，则使用撞归口诀：

• 一归：见一无除撞九一
• 二归：见二无除撞九二
• 三归：见三无除撞九三
• 四归：见四无除撞九四
• 五归：见五无除撞九五
• 六归：见六无除撞九六
• 七归：见七无除撞九七
• 八归：见八无除撞九八
• 九归：见九无除撞九九

这口诀也有明显规律：“见 n 无除撞（也有作“作”）九 n”，无需特别记忆。它的意思是，在“除数、被除数的首数同为 n，却又不够除，直接估商为 9，下一档要 +n”时。当首数相同，却又无法进 1 （代表 10），则估商就从 9 开始。减积后，需要在下一档 +n 。

以密率为例，因为除数为 $113$，故称之为“一归十三除”，相关口诀如下：

• 九归口诀：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。
• 退商口诀：无除起一下还一。
• 撞归口诀：见一无除撞九一。

以 $355\div 113$ 为例

• 第一位

一归十三除

置数		逢三进三 商为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十三除减积 $-3\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}39}}$。
	→		→
$0$"$3550000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}550000000$		$3$"$0{\mathbf {\color {Red}16}}0000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}300}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}55}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&-300\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}39}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第二位

一归十三除

前次结果		逢一进一 商为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十三除减积 $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$30$"$160000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}60000000$		$31$"$0{\mathbf {\color {Red}47}}000000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}60\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47\ }}\\\end{array}}$

• 第三位

一归十三除

前次结果		逢四进四 商为 ${\mathbf {\color {Red}4}}$		以十三除减积 $-4\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}52}}$。
	→		→
$310$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}700000$		$314$"$0{\mathbf {\color {Red}18}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-3503}}\\&47\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}4}}00\ }}\\&70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&-400\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}52}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\ \\\end{array}}$

• 第四位

一归十三除

前次结果		逢一进一 商为 ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十三除减积 $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$3140$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}80000$		$3141$"$0{\mathbf {\color {Red}67}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ }}\\&18\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}80\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\ \\\end{array}}$

• 第五位

一归十三除

前次结果		逢六进六 商为 ${\mathbf {\color {Red}6}}$		以十三除减积 ${\begin{array}{ll}-6\times 13&=-6\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}60}}-{\mathbf {\color {Purple}18}}\\\end{array}}$。		加回减积		退商 无除起一下还一 商$-1$为 ${\mathbf {\color {Red}5}}$，下一档$+1$		以十三除减积 $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$31410$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}6}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}7000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}1}}000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}7}}000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}7000$		$31415$"$1{\mathbf {\color {Red}05}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ }}\\&67\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}6}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}10}}\ &{\mathbf {\color {Purple}<18}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&-60\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}70}}\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-500\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&-500\ \\&{\underline {-65\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}05}}\ \\\end{array}}$

• 第六位

一归十三除

前次结果		见一无除撞九一 商为 ${\mathbf {\color {Red}9}}$，下一档 $+1$		以十三除减积 $-9\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}117}}$。
	→		→
$31415$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&105\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}9}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}50\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&-900\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}117}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\ \\\end{array}}$

• 第七位

一归十三除

前次结果		逢三进三 商为 ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十三除减积 ${\begin{array}{ll}-3\times 13&=-3\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}30}}-{\mathbf {\color {Purple}9}}\\\end{array}}$。		加回减积		退商 无除起一下还一 商$-1$为 ${\mathbf {\color {Red}2}}$，下一档$+1$		以十三除减积 $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$3141590$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}30$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}0}}0$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}3}}0$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}30$		$3141592$"$1{\mathbf {\color {Red}04}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ }}\\&33\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}0}}0\ &{\mathbf {\color {Purple}<9}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&-30\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}3}}0\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}2}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-200\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}26}}\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}04}}\ \\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$