塞邁雷迪正則性引理

數學上,塞邁雷迪正則性引理(Szemerédi regularity lemma)斷言,給定任意一個足夠大的,都可以將其頂點集劃分成若干個差不多一樣大的子集,使得幾乎每兩個不同的子集之間的邊,都具有隨機二部圖的性質。塞邁雷迪於 1975 年引入了該引理較弱的版本,其只適用於二部圖,用作證明塞邁雷迪定理[1],後來再於 1978 年證明了完整的版本[2]Vojtěch Rödl英語Vojtěch Rödl 及其合作者[3][4][5]高爾斯[6][7]將正則性方法推廣到超圖上。

Szemerédi 正規引理的圖示

定義和引理敍述

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塞邁雷迪正則性引理的嚴格敍述須用到下列定義。設 G 為一幅圖,而 V 為其頂點集。

密度

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XYV 的兩個互斥子集。定義 (XY)密度

 

其中 E(XY) 為一個頂點在 X 中,而另一個頂點在 Y 中的邊的集合。

ε-正則

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對於 ε > 0, 稱兩個由頂點組成的集合 XYε-正則,若對任意滿足|A| ≥ ε|X||B| ≥ ε|Y| 的子集 A ⊆ XB ⊆ Y, 都有

 

ε-正則劃分

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V1, ...,  Vk 為將 V 分成 k 份的劃分。其稱為 ε-正則劃分,若:

  • 對每個 ij 都有 ViVj 的大小至多相差 1.
  • 除了至多 εk2 對滿足 i < jVi, Vj 以外,其他的每一對都 ε-正則。

利用上述定義,可以寫出引理的嚴格敍述。

正則性引理

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對任意的 ε > 0正整數 m, 存在整數 M, 其滿足:若 G 為至少有 M 個頂點的圖,則存在整數 k 滿足 m ≤ k ≤ M, 和一個 ε-正則劃分將 G 的頂點集分成 k 份。

引理的證明所給出的 M 的上界極大,比如 mO(ε−5)迭代冪次。若實際的上界並非如此大,而是 exp(ε -β) 的形式的話,則其可應用在其他地方。然而,高爾斯於 1997 年找到了一些圖作為例子,證明 M 確實可以增長得極快,比如至少為 mε−1/16 次疊代冪次。由此可見,最佳的上界必定位於 Grzegorczyk 分層英語Grzegorczyk hierarchy中的第 4 層,因此不屬初等遞歸函數[8]

推廣

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János Komlós英語János KomlósGábor Sárközy英語Gábor Sárközy塞邁雷迪·安德烈其後(於 1997 年)證明了blow-up 引理[9][10] ,其斷言塞邁雷迪正則性引理中的正則對,在特定意義下與完全二部圖具有同樣的性質。若考慮將大而疏的圖,嵌入到一個稠密的圖中,則適用 blow-up 引理來深入研究該嵌入的性質。

陶哲軒以概率方法證明了一條不等式,其推廣了塞邁雷迪正則性引理[11]

注意,不可能在塞邁雷迪正則性引理中,證明「所有」對都正則。原因是,一些圖(比如半圖英語Half graph)確實需要劃分中有若干對頂點集非正則,儘管按照正則性引理,這樣的對只佔很小一部分。[12]

參考文獻

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  1. ^ Szemerédi, Endre, On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression, Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica, 1975, 27: 199–245 [2018-12-02], MR 0369312, (原始內容存檔於2012-02-05) .
  2. ^ Szemerédi, Endre, Regular partitions of graphs, Problèmes combinatoires et théorie des graphes (Colloq. Internat. CNRS, Univ. Orsay, Orsay, 1976), Colloq. Internat. CNRS 260, Paris: CNRS: 399–401, 1978, MR 0540024 .
  3. ^ Frankl, Peter; Rödl, Vojtěch, Extremal problems on set systems, Random Structures & Algorithms, 2002, 20 (2): 131–164, MR 1884430, doi:10.1002/rsa.10017.abs .
  4. ^ Rödl, Vojtěch; Skokan, Jozef, Regularity lemma for k-uniform hypergraphs, Random Structures & Algorithms, 2004, 25 (1): 1–42, MR 2069663, doi:10.1002/rsa.20017 .
  5. ^ Nagle, Brendan; Rödl, Vojtěch; Schacht, Mathias, The counting lemma for regular k-uniform hypergraphs, Random Structures & Algorithms, 2006, 28 (2): 113–179, MR 2198495, doi:10.1002/rsa.20117 .
  6. ^ Gowers, W. T., Quasirandomness, counting and regularity for 3-uniform hypergraphs, Combinatorics, Probability and Computing, 2006, 15 (1-2): 143–184, MR 2195580, doi:10.1017/S0963548305007236 .
  7. ^ Gowers, W. T., Hypergraph regularity and the multidimensional Szemerédi theorem, Annals of Mathematics, Second Series, 2007, 166 (3): 897–946, MR 2373376, arXiv:0710.3032 , doi:10.4007/annals.2007.166.897 .
  8. ^ Gowers, W. T., Lower bounds of tower type for Szemerédi's uniformity lemma, Geometric and Functional Analysis, 1997, 7 (2): 322–337, MR 1445389, doi:10.1007/PL00001621 .
  9. ^ Komlós, János; Sárközy, Gábor N.; Szemerédi, Endre, Blow-up lemma, Combinatorica, 1997, 17 (1): 109–123, MR 1466579, doi:10.1007/BF01196135 
  10. ^ Komlós, János; Sárközy, Gábor N.; Szemerédi, Endre, An algorithmic version of the blow-up lemma, Random Structures & Algorithms, 1998, 12 (3): 297–312, MR 1635264, arXiv:math/9612213 , doi:10.1002/(SICI)1098-2418(199805)12:3<297::AID-RSA5>3.3.CO;2-W 
  11. ^ Tao, Terence, Szemerédi's regularity lemma revisited, Contributions to Discrete Mathematics, 2006, 1 (1): 8–28, Bibcode:2005math......4472T, MR 2212136, arXiv:math/0504472  .
  12. ^ Conlon, David; Fox, Jacob, Bounds for graph regularity and removal lemmas, Geometric and Functional Analysis, 2012, 22 (5): 1191–1256, MR 2989432, arXiv:1107.4829 , doi:10.1007/s00039-012-0171-x 

參見

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  • Komlós, J.; Simonovits, M., Szemerédi's regularity lemma and its applications in graph theory, Combinatorics, Paul Erdős is eighty, Vol. 2 (Keszthely, 1993), Bolyai Soc. Math. Stud. 2, János Bolyai Math. Soc., Budapest: 295–352, 1996, MR 1395865 .
  • Komlós, J.; Shokoufandeh, Ali; Simonovits, Miklós; Szemerédi, Endre, The regularity lemma and its applications in graph theory, Theoretical aspects of computer science (Tehran, 2000), Lecture Notes in Computer Science 2292, Springer, Berlin: 84–112, 2002, MR 1966181, doi:10.1007/3-540-45878-6_3 .