代換積分法

換元積分法，又稱變數變換法（英語：Integration by substitution），是求積分的一種方法，由鏈式法則和微積分基本定理推導而來。

第一類換元法

設$f(x)\$為可積函數，$g=g(x)\$為連續可導函數，則有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(g)g'\mathrm {d} x=\int _{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(g)\mathrm {d} g$

第一類換元法的基本思想是配湊的思想。

第二類換元法

設$f(x)\$為可積函數，$x=x(g)\$為連續可導函數，則有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(\alpha )}^{x^{-1}(\beta )}f(x(g))x'\mathrm {d} g$

在遇到類似${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$、${\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$和${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$的式子時，通常採取分別令$x=\pm a\sec t$、$x=\pm a\tan t$或$x=\pm a\sin t$進行換元，得到關於$t$的一個原函數。如果要計算不定積分，則再由$x$與$t$的關係還原即可；如果要計算定積分，只需在變換後的積分限$\alpha$和$\beta$下計算相應的定積分即可。

例子

計算積分$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx$。

${\begin{alignedat}{2}d\left(x^{2}+1\right)=2x\,dx&\iff dx={\frac {d\left(x^{2}+1\right)}{2x}}\\\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {\int _{0}^{2}2x\cos(x^{2}+1)\,dx}{2}}\\&={\frac {\int _{1}^{5}\cos(x^{2}+1)\,d\left(x^{2}+1\right)}{2}}\\&={\frac {\sin 5-\sin 1}{2}}\\\end{alignedat}}$

其中 $dx$ 換元為 $d\left(x^{2}+1\right)$ 後，$\int _{0}^{2}$ 亦變為 $\int _{1}^{5}$，是因為其形式為黎曼－斯蒂爾傑斯積分，但在黎曼－斯蒂爾傑斯積分中變數的取值範圍應該還是 x 的取值範圍，而不是 g(x) 的取值範圍。

參見

• 分部積分法