杜哈梅原理(英語:Duhamel's principle),又稱為齊次化原理,是求解非齊次線性偏微分方程(如熱傳導方程、波動方程)的一種方法。杜哈梅原理以法國數學家杜哈梅的名字命名,他最早在非齊次熱傳導方程中應用了此方法。該方法可以看作是求解非齊次線性常微分方程時使用的常數變易法(Variation of parameters)的推廣。[1]
杜哈梅原理將非齊次問題的求解轉化為一組柯西問題(初值問題)的求解。以熱傳導方程為例,熱能分布
為
上的函數。初值問題為
![{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4cbe2ed3fc94ff985fd15b5a8d52c2793d7b38)
其中
表示初始的熱分布。而相應的非齊次問題則為
![{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=f(x,t)&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142d018565fb828e6d78773eedb09eeeb31bf2e2)
可以將非齊次問題看成是無數個瞬時
的齊次問題的疊加。由於方程是線性的,故將每一個
時刻的齊次問題的解疊加(積分)之後就可以得到非齊次問題的解。這便是杜哈梅原理的基本思想[2]。
- ^ Fritz John, "Partial Differential Equations' , New York, Springer-Verlag , 1982 , 4th ed., 0387906096
- ^ 樊龍 李高. 《利用齐次化原理求解常系数非齐次线性方程初值问题》. 大陸: 山西大同大學煤炭工程學院. 《大學數學》2017年 第2期.