蒙哥馬利算法

在模算數領域，蒙哥馬利模乘(Montgomery modular multiplication)、蒙哥馬利乘算(Montgomery multiplication)是一種快速大數（通常是幾百個二進位）模乘算法，由彼得·蒙哥馬利在1985年提出。^[1]^[2]

一般以傳統方式計算模乘 $ab mod N$ 時，是將乘積 $ab$ 除以 $N$ 並取餘數，然而除法需要相當消耗時間的商數位估算和校正。因此蒙哥馬利模乘引入了一種特殊的數字表達形式「蒙哥馬利型(Montgomery form)」。將 $a$ 與 $b$ 轉化為蒙哥馬利型後，計算在蒙哥馬利型下的 $ab mod N$ 。令 $R > N$ 為一整數常數且與 $N$ 互質，在計算蒙哥馬利演算法的過程中，唯一必要的除法就僅為除以 $R$ 。而此常數 $R$ 是可以設計為容易進行除法的。以實務來說， $R$ 通常會設為 $2$ 的冪次方，如此一來，除法就僅僅需要進行移位。

單次的蒙哥馬利模乘因為需要將 $a$ 與 $b$ 轉化為蒙哥馬利型，速度上可能反而不及傳統方法以及巴雷特約減。然而，當我們需要進行連續乘法時（例如模冪(modular exponentiation)運算），其優勢就會展現出來：只有在連續乘法起始與結束時需要進行蒙哥馬利型轉化，而過程中所產生的中間值可以一直維持在蒙哥馬利型的狀態。相較於連乘，轉化的時間花費在整個過程中就相對微小許多。

諸多的密碼系統如 RSA 與迪菲-赫爾曼密鑰交換都是基於在一個很大的奇數模上做運算。對這些演算法來說，使用 $R$ 為二的次方的蒙哥馬利乘算是非常有效率的一種做法。^[3]

蒙哥馬利約減

參見

參考資料

^ Montgomery, Peter. Modular Multiplication Without Trial Division (PDF). Mathematics of Computation. April 1985, 44 (170): 519–521 [2023-10-03]. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777282-X  . （原始內容存檔 (PDF)於2023-05-30）.
^ Martin Kochanski, "Montgomery Multiplication" 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2010-03-27. a colloquial explanation.
^ Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, and Scott A. Vanstone. Handbook of Applied Cryptography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. CRC Press, 1996. ISBN 0-8493-8523-7, chapter 14.

Martin Kochanski, Montgomery Multiplication A colloquial explanation.
Analyzing and Comparing Montgomery Multiplication Algorithms

[montg1985-1] Montgomery, Peter. Modular Multiplication Without Trial Division (PDF). Mathematics of Computation. April 1985, 44 (170): 519–521 [2023-10-03]. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777282-X  . （原始內容存檔 (PDF)於2023-05-30）.

[kochanski-2] Martin Kochanski, "Montgomery Multiplication" 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2010-03-27. a colloquial explanation.

[3] Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, and Scott A. Vanstone. Handbook of Applied Cryptography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. CRC Press, 1996. ISBN 0-8493-8523-7, chapter 14.

[1]

[2]

[3]