R² 的連通和不連通子空間。上面的空間 A 是連通的,下面的空間 B 是不連通的。

定義 編輯

拓撲空間X稱為是連通的。當且僅當以下敘述之一成立:

一個拓撲空間被稱為是不連通的,若它不是連通的。

連通性是拓撲空間的一個拓撲不變性質,即兩個拓撲空間之間若存在一個同胚映射,其中一個空間是連通的,則另一個空間也是連通的。

一些數學家承認空集(按照它獨有的拓撲)是連通空間,不過也有數學家不承認這一點。

連通單元 編輯

連通子集
拓撲空間X的子集A稱為連通的,當且僅當A誘導的子拓撲空間是連通的。
連通單元
拓撲空間的極大連通子集稱作連通單元
完全不連通空間
拓撲空間X稱為完全不連通空間,當且僅當X的連通單元都是單元素集合。

每個空間都能表成它的連通單元的不相交併集。

連通單元必然是閉的,在夠好的空間(如流形代數簇)上也同時是開的,但並非總是如此。

其它連通性定義 編輯

道路連通,弧連通 編輯

 
R² 的這個子空間是道路連通的,因為在這個空間的任何兩點之間可繪製一個道路。
稱拓撲空間X是道路連通空間,當且僅當∀x,y∈X,存在連續函數  使得  。若  可取為使得  同胚,則稱X為弧連通空間

道路連通空間必定是連通空間,反之不一定。

道路連通的豪斯多夫空間必為弧連通空間。

局部連通 編輯

拓撲空間X稱為局部連通的,當且僅當以下敘述之一成立:

  • 空間中的任一點都存在連通的鄰域(即該鄰域是X的連通子集)。
  • 空間的拓撲基完全由連通的集合組成。

例子 編輯

  • 拓撲學家的正弦曲線:在平面歐幾里得空間 中定義集合
     
     
    。考慮  中誘導的子拓撲空間,它是連通的,但不是局部連通的。
  • 有理數:有理數集上的連通單元都是單元素集合,所以有理數集是一個完全不連通空間。

參考文獻 編輯