利薩茹曲線

數學上，利薩茹（Lissajous）曲線（又稱利薩茹圖形、李薩如圖形或鮑迪奇（Bowditch）曲線）是兩個沿着互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。

納撒尼爾·鮑迪奇在1815年首先研究這一族曲線，朱爾·利薩茹在1857年作更詳細研究。

數學定義

利薩茹曲線由以下參數方程定義：

{\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}

其中 $0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}$ ， $n\geq 1\,$ 。

$n$ 稱為曲線的參數，是兩個正弦振動的頻率比。若比例為有理數，則 $n={\frac {q}{p}}\,$ ，參數方程可以寫作：

{\begin{cases}x(\theta )=a\sin(p\theta )\\y(\theta )=b\sin(q\theta +\phi )\\0\leq \theta \leq 2\pi \end{cases}}

，

其中 $0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2p}}$ 。

若 $n$ 為無理數，曲線在長方形 $[-a,a]\times [-b,b]$ 中稠密。
若 $n$ 為有理數，
- 曲線是 $2q$ 次代數曲線若 $\phi \in \left(0,{\frac {\pi }{2p}}\right]$ 對奇數 $p$ ，或 $\phi \in \left[0,{\frac {\pi }{2p}}\right)$ 對偶數 $p$ 。
- 曲線是 $q$ 次代數曲線的一部份若 $\phi =0\,$ 對奇數 $p$ ，或 $\phi ={\frac {\pi }{2p}}$ 對偶數 $p$ 。

若 $n$ 為偶數而 $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ ，或若 $n$ 為奇數而 $\phi =0\,$ ，則曲線是第 $n$ 個切比雪夫多項式 $T_{n}$ 的曲線的一部份。

若 $a=b$ ， $n=1$ ，則曲線是橢圓。
- 若 $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ ，則這橢圓其實是圓。
- 若 $\phi =0\,$ ，則這橢圓其實是線段。
若 $a=b$ ， $n=q=2$ （所以 $p=1$ ），則曲線是besace。
- 若 $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ ，則這besace是拋物線一部份。
- 若 $\phi =0\,$ ，則這besace是一個熱羅諾雙紐線。

以下是利薩茹曲線的例子，其中 $\phi =0$ ， $a=b$ , $p$ 是奇數， $q$ 是偶數， $|p-q|=1$ 。