天元術
天元術是中國古代的代數學方法之一種，是中國古代建立高次方程的方法。1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》，以及元代數學家朱世傑的《算學啟蒙下卷》《四元玉鑒》，都系統地介紹了用天元術建立二次方程。元代數學家王恂也廣泛使用天元術解高次方程。例如在授時曆中「問半弧背一度下，黃赤道矢弧若干」一題，王恂用天元術建立和求解四次多項式方程 [1]
其中「天元」相當於現在的未知數，「立天元一為某某」相當於現代數學中的「設某某為」，用天、地表示方程的正次冪和負次冪，根據問題設未知數，列出兩個相等的多項式，進行多項式運算，最後列出有待求解的方程。
歷史
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在中國數學史上最早創立天元概念的是北宋平陽蔣周所著的《益古集》，隨後有博陸李文一撰《照膽》，鹿泉石信道撰《鈐經》，平水劉汝諧撰《如積釋鎖》，處州李思聰《洞淵九容》後人才知道有天元。
李冶在東平獲得劉汝諧撰《如積釋鎖》，書中用十九個單字表示未知數的各個 至 的冪：
- 仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼；其中立天元在上。
後來有太原彭澤彥出，反其道而行，以天元在下[2]。
《益古集》、《照膽》、《鈐經》、《如積釋鎖》、《洞淵九容》等早期天元術著作今已失傳。李冶在《測圓海鏡》中使用天元在上的天元術。後來李冶又著《益古演段》，採用天元在下的次序。朱世傑《四元玉鑒》和《算學啟蒙》卷下也採用天元在下的次序。
例子
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在天元術中，一次項係數旁記一「元」字（或在常數項旁記一「太」字）。
- 歷史上有兩種次序：
- 《測圓海鏡》式
「元」以上的係數表示各正次冪，「元」以下的係數表示常數項和各負次冪）。
例：李冶《測圓海鏡》第二卷第十四問方程：
元
- 《益古演段》式
「元」以下的係數表示各正次冪，「元」以上的係數表示常數和各負次冪
例一：
太
-
元（x）
（ 項）
其中「太」是常數項，算籌
打斜線表示該項常數為負數。
「元」相當於未知數x
例二：
將代數方程
表示為天元方程：
例三：
朱世傑《四元玉鑒》《一氣混元》
- 今有黃方乘直積得二十四步，只雲股弦和九步，問勾幾何？
- 答曰：三步。
- 草曰:立天元一為勾，
根據條件 黃方乘直積得二十四步
- 黃方： [3]
- 直積：
- 得
- 此外：股弦和九步
(立天元一為勾) 由此得方程
-
- 太
解之，得勾=3
天元術與阿拉伯代數之差異
編輯天元術與阿拉伯代數雖功用相同，但方法迥異。天元術可解高次方程，阿拉伯代數只能解一次，二次方程。天元術解根只求正根，但阿拉伯代數解二次方程得二根。[4]