極點 (複分析)

亞純函數極點是一種特殊的奇異點,它的表現如同的奇異點。也就是說,如果當時,函數,那麼處便具有極點。

伽瑪函數的絕對值。從左面可以看出,在極點處函數的值趨於無窮大。而在圖像的右面,則沒有極點。

定義

編輯

假設 複數平面 開子集  的一個元素, 是一個在定義域內全純的函數。如果存在一個全純函數 和一個非負整數 ,使得對於所有 內的 ,都有

 

那麼 便稱為 的極點。滿足以上條件的最小整數 稱為極點的階。一階的極點又稱為簡單極點。

性質

編輯

1.函數f在極點a的極限值是 .也就是說

 

2.由性質1.可知,如果令函數

 

那麼代入定義可知:

 

其中  點解析。那麼有  的m階零點

3.由於 是全純函數, 可以表示為:

 

這是一個洛朗級數,它的主部分是有限的。全純函數 稱為 的正則部分。因此,點   階極點,當且僅當  處的羅朗級數中所有低於 的次數都為零,而 次項不為零。

評論

編輯

如果函數 的一階導數在 處具有簡單極點,則  的一個分支點英語Branch point,但反過來不成立。

一個既不是極點又不是分支點的非可去奇異點稱為本性奇異點

除了一些孤立奇異點外全純的函數,且所有的奇異點均為極點,則該函數稱為亞純函數

參見

編輯

外部連結

編輯