开集
在數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。
通常微積分的課程中,會借助歐式空間的距離去描述數列極限;直觀上,當 越來越大時數列 跟 要多靠近有多靠近的時候,就說 是數列 的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於" 點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。
定義编辑
歐式空間编辑
代表 維歐式空間, 而 中的任兩點距離(歐式距離)為
若 ,且對所有 ,存在一个 ,使得對所有 ,只要 就有 ,那麼就說子集 是 中的一個開集。也就是說,開集 裡的所有點 都有一個以 為中心的開球完全包含於 。
賦距空间编辑
歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空间 中:
是 的子集,若對所有 中的點 ,存在 使得對所有 中的點 ,只要 ,则 也屬於 ,或以正式的邏輯符號表述為
則稱 是 的一個開集。也就是說,如果所有 中的点都有完全包含於 的開球, 便是开集。
這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。
賦距空間的開集還會有以下的性質:
定理:
若 為賦距空間,則
(1) 和 也是 的開集。
(2) 若 和 都是 的開集,則 也是 的開集。
關於上面性質的證明,(1)是非常顯然的;(2)只需取每一點比較小的開球即可[註 1];(3)根據聯集的定義也是非常顯然的[註 2]。
事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。
拓撲空間编辑
開集是拓扑空间定義的基石;也就是從任意母集合 出發,再選取 的特定的子集族 ,規定 中的集合就是開集,这樣的子集族 被叫做 上的拓樸:
根據上一節賦距空間的性質,取 為所有 的開集所構成的子集族,則顯然 也是一拓撲空間。
例子编辑
用处编辑
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性与收敛此類概念,比如度量空间和一致空间)時,都會用到开集的概念。
拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间X和Y,从X到Y的函数f是连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。
实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。