在微分幾何中,黎曼曲率張量或黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式,更普遍的,它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率,包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的,一個仿射聯絡)
(或者叫協變導數)由下式給出:
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a521909ebf9b30c4cfb21369a3a25d3ed8dc5f7c)
這裏
是一個流形切空間的線性變換;它對於每個參數都是線性的。
注意有些作者用相反的符號定義曲率.
如果
與
是坐標向量場則
所以公式簡化為
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62561fbb0cba8fd68c89c87a9da5c624138bbe1)
也就是說曲率張量衡量協變導數的反交換性。
線性變換
也稱曲率變換。
進一步,由上式定義了如下的三重線性映射
-
映射 關於每一個自變量都是 線性的, 故 是 上的 型光滑張量場, 稱之為仿射聯絡空間 的曲率張量.
在坐標向量場下, 可以表示為
-
還可以定義四重線性映射,如下
-
則映射 關於每一個自變量都是 線性的, 故 是黎曼流形 上的 型光滑張量場, 稱之為黎曼流形 的黎曼曲率張量. 在坐標向量場下, 可以表示為
-
- 註:上述紡射聯絡空間 上的曲率張量 與黎曼流形 上的黎曼曲率張量 是同一個對象的不同表現形式.
- 注 .
黎曼曲率張量有如下的對稱性:
-
-
-
最後一個恆等式由里奇發現,但是稱為第一比安基恆等式(First Bianchi identity)或代數比安基恆等式(Algebraic Bianchi identity),因為和下面的比安基恆等式相像。
這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表,也就是給定說任何滿足上述恆等式的張量,可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有 個獨立分量。
另一個有用的恆等式可以由上面這些導出:
-
比安基恆等式(Bianchi identity),經常也叫第二比安基恆等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恆等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:
-
給定流形某點的任一坐標表示,上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:
-
-
- 第一(代數)比安基恆等式: 或等價地寫為
- 第二(微分)比安基恆等式: 或等價地寫為
其中方括號表示對下標的反對稱化,分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用,特別是廣義相對論。