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在球面三角學中，球面餘弦定理是一個與球面三角形的邊和角有關的定理，類似於平面三角學的餘弦定理。

用餘弦定理解球面三角形

給定一個單位球，球體表面的球面三角形由連接球體上三點 ${\boldsymbol {u}}$、${\boldsymbol {v}}$ 和 ${\boldsymbol {w}}$ 的大圓定義（如右圖）。如果這三條邊的長度是 $a$（從 ${\boldsymbol {u}}$ 到 ${\boldsymbol {v}}$）、$b$（從${\boldsymbol {u}}$ 到 ${\boldsymbol {w}}$）和 $c$（從 ${\boldsymbol {v}}$ 到 ${\boldsymbol {w}}$），並且 $c$ 對面的角是 $C$，那麼（第一）球面餘弦定理指出：

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,$

由於這是一個單位球，這三條邊的長度 $a$、$b$ 和 $c$ 就等於它們所對的圓心角（以弧度為單位）。對於非單位球體，邊的長度是它所對的圓心角乘以球的半徑，即使 $a$、$b$ 和 $c$ 被理解為邊所對的圓心角，這個公式也成立）。作為一個特殊情況，若 $C={\frac {\pi }{2}}$，那麼 $\cos C=0$，我們就可以得到球面上的勾股定理：

$\cos C=\cos a\cos b$

如果用球面餘弦定理來求解 $c$，那麼當 $c$ 很小的時候，必須進行的反餘弦函數運算就會放大誤差。在這種情況下，使用另一個公式半正矢公式更為可取。

球面餘弦定理的一個變種，即（第二）球面餘弦定理（也稱做角的餘弦定理）指出：

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c\,$

其中 $A$ 和 $B$ 分別為邊 $a$ 和 $b$ 所對的角。這個公式可以在與給定三角形相對的極三角形中運用第一定理得到。

證明

第一個證明

設 ${\boldsymbol {u}}$、${\boldsymbol {v}}$ 和 ${\boldsymbol {v}}$ 表示從球體中心到三角形的那些角的單位向量。123