不失普遍性

數學術語

不失普遍性(without loss of generality,縮寫:WLOG、WOLOG)是數學證明中的一種用詞,表示雖然證明中引入了原命題不包含的假設,但是其仍然充分證明了原命題,而非僅僅證明了一個特例。這一用詞常見於證明帶有對稱性的命題。[1]

例子

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舒爾不等式聲稱,對於任意非負實數   和正數 都有:

 

對其的證明便可以假設:

不失普遍性,設 

因為 實數集上的全序關係      六種情況中中至少有一種成立。舒爾不等式的對稱性使得在   之間交換名字仍會得到完全相同的不等式。只需有以上任意一種情況下的證明,則任一其他情況下均可以簡單地通過變換該證明中的字母而得證。因此證明中可以假設 ,而略去其他情況下的證明。[1]

一些可以直接地被變換為另一種更簡單形式的命題,其證明中也可用到該詞。如代數基本定理

任何一個一元復係數多項式方程都至少有一個複數

其證明可以假設:

不失普遍性,設該多項式最高次項的係數為 [2]

因為該多項式最高次項原本的係數不為 ,而多項式乘以任意常數均不改變其根的性質,故可以作出此假設。

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 John Harrison. Without Loss of Generality. Theorem Proving in Higher Order Logics. TPHOLs 2009. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag: 43–59. 2009 [2023-12-25]. ISBN 978-3-642-03359-9. (原始內容存檔於2023-12-25). 
  2. ^ Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2015: 281 [2023-12-25]. ISBN 978-3-662-48792-1. (原始內容存檔於2023-12-25). 

參見

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外部連結

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