不失一般性

數學術語

不失一般性(without loss of generality,缩写:WLOG、WOLOG)是数学证明中的一种用词,表示虽然证明中引入了原命题不包含的假设,但是其仍然充分证明了原命题,而非仅仅证明了一个特例。这一用词常见于证明带有对称性的命题。[1]

例子

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舒尔不等式声称,对于任意非负实数   和正数 都有:

 

对其的证明便可以假设:

不失一般性,设 

因为 实数集上的全序关系      六种情况中中至少有一种成立。舒尔不等式的对称性使得在   之间交换名字仍会得到完全相同的不等式。只需有以上任意一种情况下的证明,则任一其他情况下均可以简单地通过变换该证明中的字母而得证。因此证明中可以假设 ,而略去其他情况下的证明。[1]

一些可以直接地被变换为另一种更简单形式的命题,其证明中也可用到该词。如代数基本定理

任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数

其证明可以假设:

不失一般性,设该多项式最高次项的系数为 [2]

因为该多项式最高次项原本的系数不为 ,而多项式乘以任意常数均不改变其根的性质,故可以作出此假设。

参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 John Harrison. Without Loss of Generality. Theorem Proving in Higher Order Logics. TPHOLs 2009. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag: 43–59. 2009 [2023-12-25]. ISBN 978-3-642-03359-9. (原始内容存档于2023-12-25). 
  2. ^ Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2015: 281 [2023-12-25]. ISBN 978-3-662-48792-1. (原始内容存档于2023-12-25). 

参见

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外部链接

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