勒文海姆–斯科倫定理

一階理論無法控制無窮模型的大小

數理邏輯中,經典勒文海姆–斯科倫定理(Löwenheim–Skolem theorem)聲稱對於標識(signature)為 的任何可數一階邏輯語言 LL-結構 M,存在一個可數無限基本子結構 N M。 這個定理的自然和有用的推論是所有一致的 L-理論都有可數的模型。

這裏的標識由常量集合 、函數集合 、關係符號集合 、和表示函數和關係符號的元數的函數 組成。在這個上下文中 L-結構,由底層集合(經常指示為「M」)和 L 的函數和關係符號的釋義組成。L 的常量在 M 中的釋義就是 M 的成員。類似的,-元函數 被指派為 M 中的 -元函數 的圖,而-元關係 的釋義被指派為 M 中的 -元關係。語言 L 是可數的,如果在 L 中的常量、函數和關係符號是可數的。

例子

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一個周知的不可數模型是所有實數的集合,帶有次序關係 "<" 作為唯一的關係,和加法與乘法作為函數。有序域的公理是一階句子;最小上界公理不是一階的而是二階的。這個定理蘊涵了實數域的某個可數無限的子域,因此不同於實數域,但滿足了實數域所滿足的所有一階句子。(作為可數的有序域,它不能滿足最小上界公理)。例如,特定多項式方程有解(在這個模型中)的斷言是一階句子,因此在斷言了其存在的可數子模型中是真的,若且唯若它在實數域中是真的。

數學家考慮的多數數學結構,特別是多數範疇的多數成員,是這裏定義意義上的模型。勒文海姆–斯科倫定理告訴我們如果它們是不可數的,它們不能被任何一階句子的集合唯一性的選取出來。

證明梗概

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對於在模型 M 中為真的如下形式的一階句子

 

 

有一個Skolem 函數 f,就是說映射 x 到斷言了其存在的 y 的函數,使得

 

M 中為真。因為有很多這樣的 y 的值,必須啟用選擇公理來推出 Skolem 函數的存在。

這個模型的某些成員可以直接用一階公式來定義,就是說,它們的存在被如下形式的句子所斷言

 

並且因為只有可數多個一階公式,只有可數多個成員可以用這種方式直接定義。

證明的想法是: 開始於這個模型的所有一階可定義成員的集合,並接着在所有 Skolem 函數下閉合它。這個閉包必定最多是可數無限的。這個模型的子集是這個定理斷言了其存在的子模型。

更一般的 "勒文海姆–斯科倫定理"

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上述定理假定了有限或可數無限的語言。更一般的勒文海姆–斯科倫定理做其他有關基數的假定。類似於這個經典定理的某些定理,斷言更小的子模型的存在(「向下」勒文海姆–斯科倫定理);其他一些斷言更大基數的模型的存在(「向上」勒文海姆–斯科倫定理)。

勒文海姆-斯科倫定理在一階邏輯中的定義和證明

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勒文海姆-斯科倫定理: 如果   是一個含有有限可數個數的命題組成的集合,並且集合  可以滿足的(  SAT),那麼至少存在一個模型(或叫作指派,或叫作解釋 (Interpretation)) 用符號記作 I,   ,且這個模型 I 指派解釋也是可數的

證明:

前提:在語言集合L中如果我們有一個可滿足式的有限可數命題公式的集合  ,且 ,  中的命題公式
如果我們有一個集合,用字母記作 S ,並且  ,其中集合  是由命題公式 轉換成子句結構(Clause)所組成的集合,我們有一個定理(記作Th): 如果 是可滿足式的(Satisfaisable)公式,若且唯若Clause( )也是可滿足式的,通過這個定理,我們確保S是可滿足的,並且也是可數的
如果我們有一個基於語言集合L的等價公理集合,記作 (該集合是為了用於Skolemisation方法中,也就是 在轉化成Clause( )過程中,去除有限量詞 的方法Skolemisation,化為Skolem範式)
那麼很顯然   也是可滿式的集合,那麼   同樣是可滿足的
由於語言集合L中的元素是可數的 所以  是也是有限可數的集合
如果我們有一個模型,記作 I 且  ,赫爾不蘭特定理(Theoreme de Herbrand)告訴我們如果我們要構造一個模型M,並且 ,那麼模型M的模型解釋指派域(記作)D是一個以I(t)為元素的指派域(其中t是在S中的所有的項),那麼模型M是通過Congurence關係來解釋指派等價性關係(Egalite)
由於我們說語言理合L是可數的,那麼指派解釋域D也是可數的
那麼我們可以構造另一個模型M',並且基於解釋域  (我們通過等價關係來指派解釋等價性)且 ,那麼M'必然也是可數的,那麼根據Th定理,  ,那麼我們就可以說  
所以我們證明了勒文海姆-斯科倫定理

參見

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引用

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  • Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
  • María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
  • Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC