萊維過程

萊維過程（Lévy process）源於法國數學家保羅·皮埃爾·萊維，是連續時間上的一種擁有獨立穩定增量的左極限右連續（Càdlàg）的隨機過程。著名的例子有維納過程和泊松過程。

定義

一個隨機過程$X=\{X_{t}:t\geq 0\}$是一個萊維過程如果符合以下條件：

1. $X_{0}=0\,$ 幾乎確定。
2. 獨立增量：對任何$0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty$, $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$相互獨立。
3. 穩定增量：對任何$s<t\,$, $X_{t}-X_{s}\,$與$X_{t-s}\,$有相同分佈
4. $t\mapsto X_{t}$ is 幾乎確定右連左極.

性質

獨立增量

設X_t是一個連續時間上的隨機過程。也就是說，對於任何固定的t ≥ 0，X_t是一個隨機變量。過程的增量為差值X_s − X_t（任意的時間t < s）。 獨立增量意味着對於任何時間s > t > u > v，X_s − X_t和X_u − X_v相獨立。

穩定增量

如果增量X_s − X_t的分佈只依賴於時間間隔s − t，則稱增量是穩定的。

例如，對於維納過程，增量X_s − X_t服從均值為0，方差為s − t的正態分佈。

對於泊松過程，增量X_s − X_t服從指數為s − t的泊松分佈

可分性

萊維過程與無限可分分佈有關：

• 增量的分佈是無窮可分的。即對任意給定的n，X_t的分佈可以表示為n個與X_t/n同分佈的隨機變量的和的分佈。
• 反之，對於每個無窮可分的分佈，可以構造出一個與之對應的Lévy過程。

矩

當萊維過程的n階矩$\mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})$存在有限時， 它滿足二項式等式：

$\mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).$

例子

維納過程

定義
X為維納過程（或者標準布朗運動） 若且唯若

1. 對任何$\scriptstyle t\geq 0$， 隨機變量$X_{t}$服從正態分佈$\scriptstyle {\mathcal {N}}(0,t)$,
2. 它的軌跡是幾乎處處連續的；即， 對於幾乎所有的事件$\scriptstyle \omega$，關於t的函數$\scriptstyle \omega \mapsto X_{t}(\omega )$是連續的。

性質

• 它的傅立葉變換為：

$\mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(-{\frac {1}{2}}t\theta ^{2}\right)$

其他性質可參考詞條布朗運動。

複合泊松過程

定義
X為一個實參數為$\scriptstyle c\geq 0$，測度為$\scriptstyle \nu$ 複合泊松過程若且唯若它的傅立葉變換為：

$\mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(ct\left(\int _{\mathbb {R} }e^{i\theta x}\nu (dx)-1\right)\right)$.

性質

• 參數為 $\scriptstyle c\geq 0$，測度為Dirac測度$\scriptstyle \nu =\delta _{1}$的複合泊松過程為泊松過程.
• 設N為參數為$\scriptstyle c\geq 0$的泊松過程，$\scriptstyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}Y_{k}$為一個隨機遊走（$\scriptstyle Y_{1}$的分佈為$\scriptstyle \nu$），那麼$\scriptstyle X_{t}=S_{N_{t}}$為一個複合泊松過程。

參閱

• 獨立同分佈
• 維納過程
• 泊松過程
• 馬爾可夫鏈

參考來源

翻譯自英語、法語版維基詞條。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999