粒子衰变

粒子衰变是一基本粒子变成其他基本粒子的自发过程。在这个过程中，一基本粒子变成质量更轻的另一种基本粒子，及一中间粒子，例如μ子衰变中的W玻色子。这中间粒子随即变成其他粒子。如果生成的粒子不稳定，那么衰变过程还会继续。

粒子衰变这种过程，与放射性衰变不一样，后者为一不稳定的原子核，变成一更小的原子核，当中还伴随着粒子或辐射的发射。

注意本条目使用自然单位，即

$c=\hbar =1$。

粒子寿命列表

所有数值均来自粒子数据小组：

种类	名称	符号	能量 (MeV)	平均寿命
轻子	电子 / 正电子	$e^{-}\,/\,e^{+}$	0.511	$>4.6\times 10^{26}$ 年
	μ子 / 反μ子	$\mu ^{-}\,/\,\mu ^{+}$	105.6	$2.2\times 10^{-6}$ 秒
	τ子 / 反τ子	$\tau ^{-}\,/\,\tau ^{+}$	1777	$2.9\times 10^{-13}$ 秒
介子	中性π介子	$\pi ^{0}\,$	135	$8.4\times 10^{-17}$ 秒
	带电π介子	$\pi ^{+}\,/\,\pi ^{-}$	139.6	$2.6\times 10^{-8}$ 秒
重子	质子 / 反质子	$p^{+}\,/\,p^{-}$	938.2	$>10^{29}$ 年
	中子 / 反中子	$n\,/\,{\bar {n}}$	939.6	$885.7$ 秒
玻色子	W玻色子	$W^{+}\,/\,W^{-}$	80,400	$10^{-25}$ 秒
	Z玻色子	$Z^{0}\,$	91,000	$10^{-25}$ 秒

生还概率

把一粒子的平均寿命标记为$\tau$，这样粒子在时间t后仍生还（即未衰变）的概率为

$P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}$

其中

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$为该粒子的洛伦兹因子。

衰变率

设一粒子质量为M，则衰变率可用下面的通用公式表示

$d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$

其中

n为原衰变所生成的粒子数，

${\mathcal {M}}\,$为连接始态与终态的不变矩阵上的元，

$d\Phi _{n}\,$ 为相空间的元，及

$p_{i}\,$为粒子i 的四维动量。

相空间可由下式所得，

$d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)\,$

其中

$\delta ^{4}\,$为四维的狄拉克δ函数。

三体衰变

作为例子，一粒子衰变成三粒子时的相空间元如下：

$d\Phi _{3}={\frac {1}{(2\pi )^{9}}}\delta ^{4}(P-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\frac {d^{3}{\vec {p}}_{1}}{2E_{1}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{2}}{2E_{2}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{3}}{2E_{3}}}\,$

四维动量

主条目：四维动量

一粒子的四维动量又叫其不变质量。

一粒子的四维动量平方，定义为其能量平方与其三维动量平方间的差（注意从这开始，采用的单位都能满足光速等于1这项条件）：

$p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,$

两粒子的四维动量平方为

$p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})\,$。

四维动量守恒

在所有衰变及粒子相互作用中，四维动量都必须守恒，因此始态p_i 与终态p_f 的关系为

$p_{\mathrm {i} }=p_{\mathrm {f} }$。

在二体衰变中

设母粒子质量为M，衰变成两粒子（标记为1和2），那么四维动量的守恒条件则为

$p_{M}=p_{1}+p_{2}$。

整理可得，

$p_{M}-p_{1}=p_{2}$

然后取左右两边的平方

$p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}$。

现在要用的正是四维动量的定义——方程(1)，展开各p² 得

$M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}.\quad \quad \quad \quad (2)\,$

若进入母粒子的静止系，则

• ${\vec {p}}_{M}=0\,$，及
• $E_{M}=M\,$

将上述两式代入方程(2)得：

$M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}.\,$

整理后得粒子1于母粒子静止系中的能量公式，

$E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}.\quad \quad \quad \quad (3)\,$

同样地，粒子2在母粒子在静止系中的能量为

$E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}$。

可得

$|{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p}}_{2}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,$

先把$E_{1}^{2}=m_{1}^{2}+{\vec {p}}_{1}^{2}\,$ 代入方程(3)：

${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {(M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4m_{1}^{2}M^{2}}{4M^{2}}}\,$

${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}+m_{1}^{4}+m_{2}^{4}-2m_{1}^{2}M^{2}-2m_{2}^{2}M^{2}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{4M^{2}}}\,$

${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}-M^{2}(m_{1}+m_{2})^{2}-M^{2}(m_{1}-m_{2})^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{4M^{2}}}\,$

${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]-(m_{1}+m_{2})^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]}{4M^{2}}}\,$

$|{\vec {p}}_{1}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,$

$|{\vec {p}}_{2}|\,$的推导也一样。

二体衰变

在质心系中，看起来静止的母粒子衰变成两相同质量的粒子，造成它们在夹角为180°的情况下发射。

...而在实验室系中，母粒子大概以接近光速的速度移动，因此所发射的两粒子，其角度会与质心系的不一样。

从两个不同的参考系

在实验室系中发射粒子的角度，与质心系时的关系由下式表示：

$\tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}$

衰变率

设一母粒子质量为M ，衰变成两粒子，标记为1和2。那么在母粒子的静止系中，

$|{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}$。

另外，用球坐标表示则为

$d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right)$。

已知二体衰变的相空间元（见上文#衰变率一节，n=2），得母粒子参考系中的衰变率为：

$d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right)$。

另见

• 粒子物理学
• 粒子列表
• 弱相互作用

参考资料

• J.D. Jackson. Kinematics (PDF). Particle Data Group. 2010 [2011-08-24]. （原始内容 (PDF)存档于2021-03-28）.  －见第2页。
• 粒子数据小组 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 粒子大冒险 劳伦斯伯克利国家实验室粒子数据小组