魏尔斯特拉斯-恩内佩尔曲面

在微分几何中，魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化（WE曲面、魏恩曲面、Weierstrauss-Enneper surfaces）是二维极小曲面^[1]的参数化。

它以恩内佩尔（Enneper）和魏尔斯特拉斯的名字命名。他们在1863年发现了这个参数化。

设 f 是解析函数、g 是亚纯函数、fg² 是全纯函数、c₁, c₂, c₃ 是常数。若(x₁,x₂,x₃)是曲面M的坐标以及

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=Re\left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

则M是极小流形。^[2]逆命题也是事实：若曲面M有上面的参数化，则M是极小的。^[3]

比方说，恩内佩尔曲面具有 $f(z)=1,\ g(z)=z^{m}$ 。

Costa曲面（英语：Costa surface）使用魏尔斯特拉斯椭圆函数。^[2]

g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}

f(\omega )=\wp (\omega )

参考文献

^ Hua, H. and Jia, T., 2018. Wire cut of double-sided minimal surfaces. The Visual Computer, 34(6-8), pp.985-995.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Sharma, R.: The weierstrass representation always gives a minimal surface. arXiv preprint
arXiv:1208.5689
(2012)
^ Dierkes, U., Hildebrandt, S., Küster, A., Wohlrab, O. Minimal surfaces, vol. I, p. 108. Springer 1992. ISBN 3-540-53169-6

[1] Hua, H. and Jia, T., 2018. Wire cut of double-sided minimal surfaces. The Visual Computer, 34(6-8), pp.985-995.

[:0-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Sharma, R.: The weierstrass representation always gives a minimal surface. arXiv preprint
arXiv:1208.5689
(2012)

[DHWK-3] Dierkes, U., Hildebrandt, S., Küster, A., Wohlrab, O. Minimal surfaces, vol. I, p. 108. Springer 1992. ISBN 3-540-53169-6

[1]

[2]

[3]