依赖选择公理

在数学上,依赖选择公理,英语:Axiom of dependent choice)是选择公理)较弱的版本,但依赖选择公理依旧足以发展实分析绝大多数的内容。依赖选择公理最早由保罗·伯奈斯英语Paul Bernays于1942年一篇讨论哪些集合论公理对发展数学分析是必要的文章中引入。[a]

正式描述

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若一个 上的齐次关系英语homogeneous relation 被称作全关系,则对于所有的 而言,皆存在有一个 ,使得 成立。

依赖选择公理的表述如下: 对于任意非空集合 及任意 上的全关系 而言,皆存在有一个 上的序列 ,使得以下陈述成立:

对于任意的 而言, 

若限制上述的 为所有实数的集合,那相关公理可表记为 

应用

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即使在没有这条公理的状况下,对于任意的 ,依旧可用一般的数学归纳法造出如此序列的最前面 项;而依赖选择公理说的是我们可用此种方式造出整个(可数无限的)序列。

 这条公理是 的片断,而在“必须于每一步都做出选择”且“一些选择无法在不仰赖先前选择的情形下独立做出”的状况下证明“存在有可以可数长度的超限递归建构的序”列时,这条公理是必须的。

等价陈述

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策梅洛-弗兰克尔集合论 的框架下, 等同于完备度量空间上的贝尔纲定理[1]

 的框架下,这公理也等价于勒文海姆–斯科伦定理[b][2]

  的框架下也与“所有有 层且剪枝过的树英语pruned tree都有分支英语Branch (descriptive set theory)”这陈述等价。

不仅如此, 也与弱化版的佐恩引里等价;特别地, 与“任何使得所有良序链都有限且有界的偏序,都必然有极大元素”这叙述等价。[3]

与其他公理的关系

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和完整版的 不同的是,  的框架下,不足以证明说有些实数集是不可测集,也不足以证明有些实数集合不具有贝尔性质完美集性质英语perfect set property;而由于梭罗维模型满足 ,且在此模型中所有的实数集合都是勒贝格可测集、都具有贝尔性质和完美集性质之故,因此这说法成立。

依赖选择公理蕴含可数选择公理,且严格强于可数选择公理。[4][5]

注解

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  1. ^ "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始内容存档 (PDF)于2022-07-23).  The axiom of dependent choice is stated on p. 86.
  2. ^ Moore states that "Principle of Dependent Choices   Löwenheim–Skolem theorem" — that is,   implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. 1982: 325. ISBN 0-387-90670-3. 

参考资料

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  1. ^ “贝尔纲定理蕴含依赖选择公理”─Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1977, 25 (10): 933–934. 
  2. ^ The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. Computability and Logic  3rd. Cambridge University Press. 1989: 155–156. ISBN 0-521-38026-X. 
  3. ^ Wolk, Elliot S., On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma 26 (3), Canadian Mathematical Bulletin: 365–367, 1983 [2022-07-23], doi:10.4153/CMB-1983-062-5 , (原始内容存档于2022-07-23) 
  4. ^ 伯奈斯证明说依赖选择公理蕴含可数选择公理,相关资料可见于Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始内容存档 (PDF)于2022-07-23). 的第86页
  5. ^ 对于可数选择公理不蕴含依赖选择公理这点,可见Jech, Thomas, The Axiom of Choice, North Holland: 130–131, 1973, ISBN 978-0-486-46624-8