伪内切圆

與三角形兩邊及外接圓相切的圓

几何学中,三角形伪内切圆[1]内切于三角形两条边和其外接圆的一个圆。与顶点的两条边相切的伪内切圆称为“关于点的伪内切圆”、“所对的伪内切圆”或“-伪内切圆”。

三角形内关于顶点的伪内切圆

关于三角形的每个顶点都有唯一的伪内切圆。

存在性及唯一性的证明

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关于点 旁切圆是唯一的。

定义 为以下两个几何变换复合:先以 点为圆心, 为半径作反演变换;再关于角 的平分线作对称变换。由于反演变换和对称变换都为双射且变换前后保留交点的性质, 也有对应的性质。

 点的旁切圆经 变换后的图像为内切于  ,以及 外接圆的一个圆,即关于点 的伪内切圆。因此关于点 的伪内切圆唯一确定。类似地,关于点 及点 的伪切圆也唯一确定。[2]

其他性质

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半径

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以下公式说明了三角形内切圆半径   -伪内切圆半径   的关系:   其中   是角 的大小[3]

与伪内切圆在三角形边上的切点有关的性质

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三角形内心 为伪内切圆与三角形其中两边的切点  组成线段的中点[4]

  与圆  的交点分别为弧  的中点[4]

跟伪内切圆与三角形外接圆切点有关的圆

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  圆内接四边形[4]

 与圆  的交点为弧 的中点[4]

参考资料

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  1. ^ 潘成华; 田开斌; 褚小光. 与曼海姆定理有关的一类几何问题. 中等数学. 2017, (4): 2–6. ISSN 1005-6416. 与三角形外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为伪内切圆 
  2. ^ Baca, Jafet. On Mixtilinear Incircles (PDF). Mathematical Reflections. 2020, (2) [2023-01-21]. (原始内容存档 (PDF)于2022-10-23). 
  3. ^ Yui, Paul. Mixtilinear Incircles. The American Mathematical Monthly. 2018-04-23, 106 (10): 952–955 [2021-10-27]. doi:10.1080/00029890.1999.12005146. (原始内容存档于2022-10-23). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 68–69. ISBN 978-1-61444-411-4. 

参看

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外部链接

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