指数映射 (黎曼几何)

黎曼几何中,指数映射(英语:exponential map)是由某(黎曼流形切空间的子集,到本身的映射。(伪)黎曼度量对应某个典范仿射联络,而(伪)黎曼流形的指数映射就是这个联络的指数映射。直观理解,由起点出发,以拣选切向量为速度,沿流形上的“直线”行单位时间,到达的终点就是

过北极的切面,到地面表面的指数映射,地图学称为方位等距投影英语azimuthal equidistant projection

定义

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 微分流形  上一点。利用 上的仿射联络,可以定义过 点的测地线[1]

 为于 点的切向量,则独有一条测地线 满足 ,而初始切向量为 。对应的指数映射 

 

定义。一般而言,指数映射不必在全个 有定义,而只有局部定义,即定义域是 原点的小邻域,映到 在流形上的某邻域内。原因是,测地线之所以存在(和唯一),藉赖常微分方程解的柯西-利普希茨定理,但该定理是仅在局部成立。若指数映射在切丛处处有定义,则该线性联络称为完备

参考资料

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  1. ^ 本节可参考Kobayashi & Nomizu (1975,§III.6),其称仿射联络为linear connection“线性联络”。