低維拓撲

在數學中，低維拓撲是拓撲學中研究二、三、四維流形或更廣義的拓撲空間的一個分支。有代表性的研究主題包括三維流形、四維流形（英語：4-manifold）、扭結和辮群等的結構理論。低維拓撲是幾何拓撲學的一部分。

歷史

自1960年起，一系列的論文逐漸引起了數學界對低維拓撲的關注。1961年，斯梅爾（英語：Smale）證明了在五維以上，龐加萊猜想是成立的^[1]。對於一維二維的龐加萊猜想，人們早已熟知。於是在當時，三維四維的龐加萊猜想似乎是最難以證明的，因為在高維度中所使用的證明方法並不適用於三維四維的情形。1980年代初，威廉·瑟斯頓（英語：Thurston）的幾何化猜想^[2]，預示著低維幾何和低維拓撲有緊密的關係。1980年代早期，沃恩·瓊斯（英語：Vaughan Jone）發現了瓊斯多項式^[3]，將紐結理論引向新的研究方向，並且瓊斯多項式中含藏著低維拓撲和數學物理的聯繫。

二維拓撲空間

曲面是一個二維的拓撲流形。我們最熟悉的例子是歐幾里得空間中三維實心體的邊界，例如三維球體的邊界。除此之外，也有一些曲面不能被嵌入三維歐式空間中，例如克萊因瓶。

閉曲面的分類

閉曲面的分類理論陳述如下^[4]：任意連通的閉曲面屬於以下三種類別之一

球面
g個環面的連通和，這裡 $g\geq 1$
k個實射影平面的連通和，這裡 $k\geq 1$

前兩個類別的曲面是可定向的，若把球面當成是0個環面的連通和，那麼第一個類別可歸入第二個類別。第二個類別中，數字g被叫做曲面的虧格。曲面的虧格和歐拉示性數有一定聯繫：對於g個環面的連通和，它的歐拉示性數為2 − 2g.

三維拓撲空間

定義

如果一個拓撲空間 $M$ 滿足以下條件，那麼 $M$ 是一個三維拓撲流形^[5]

$M$ 是第二可數空間
$M$ 是豪斯多夫空間
$M$ 上每一個點都被包含於一個開集，而且這個開集和三維歐式空間同胚

三維流形理論

在三維情況，拓撲流形、分段線性流形、光滑流形三個範疇都等價，因此很少會刻意區分三維流形是屬於哪一類。三維流形中的現象和其他維度的現象有著巨大的差別，因此有許多研究方法專門適用於三維流形，而不能被推廣至更高的維度。三維流形的特殊性，導致了三維流形和許多領域有著密切的聯繫，例如：紐結理論、幾何群論、雙曲幾何、數論、拓撲量子場論、規範場論、Floer同調論（英語：Floer homology）、偏微分方程。三維流形理論被劃分為低維拓撲或幾何拓撲學的一部分。

參考來源

^ Stephen Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. MR 0137124
^ Thurston, W. P. Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982.
^ Introduction to Jones Polynomial （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）Vaughan F.R. Jones.[2005-8-12]
^ Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R., Conway's ZIP Proof (PDF), American Mathematical Monthly, May 1999, 106 (5) [2017-11-28], doi:10.2307/2589143, （原始內容 (PDF)存檔於2010-06-12）, page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof
^ John M. Lee. Introduction to Smooth Manifold 2. New York: Springer. : 3. ISBN 978-1-4419-9981-8.

外部連結

羅比恩·卡比的低維拓撲中的問題（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – postscript文件 (1.4 MB)
馬克·布萊特漢姆的（英語：Mark Brittenham）低維拓撲的相關連結

[1] Stephen Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. MR 0137124

[2] Thurston, W. P. Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982.

[3] Introduction to Jones Polynomial （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）Vaughan F.R. Jones.[2005-8-12]

[conway-4] Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R., Conway's ZIP Proof (PDF), American Mathematical Monthly, May 1999, 106 (5) [2017-11-28], doi:10.2307/2589143, （原始內容 (PDF)存檔於2010-06-12）, page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof

[5] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifold 2. New York: Springer. : 3. ISBN 978-1-4419-9981-8.

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