分配上半格

在序理論中，分配並半格（英語：distributive join-semilattice）和分配交半格（distributive meet-semilattice）是分配格到半格的推廣。與分配格不同，分配並（交）半格不再是使用像分配律一樣的恆等式來定義，而通過恆等式定義實際上也是不可能做到的。^[1]

定義

對於並半格 $(S,\vee )$ （任兩元具有上確界 $a\vee b$ 的偏序集），以下條件等價，滿足此條件的並半格稱為分配並半格。

對於任意 $a,b,c\in S$ ，如果 $c\leq a\wedge b$ ，那麼存在 $a'\leq a$ 和 $b'\leq b$ 使得 $c=a'\wedge b'$ 。
$S$ 的序理想構成的並半格 $\operatorname {Ideal} (L)$ 是分配格。^[2]^{:167, Lemma 184(iii)}

對偶地可以定義分配交半格。

性質

在分配並半格中，任意兩個元素都有下界。^[2]^{:167, Lemma 184(ii)}

與分配格不同，分配並半格的類不關於子代數封閉，從而不構成簇。其實，任何由並半格構成的簇都不能推廣分配格到並半格，也就是不能使其對於格的情形與分配格一致。^[1]

例

對於格 $(L,\vee ,\wedge )$ ，以下條件等價。

並半格 $(L,\vee )$ 是分配並半格。
格 $(L,\vee ,\wedge )$ 是分配格。

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Ertola-Biraben, Rodolfo C.; Esteva, Francesc; Godo, Lluís. On distributive join semilattices. Fazio, D.; Ledda, A.; Paoli, F. (編). Algebraic Perspectives on Substructural Logics. Trends in Logic 55. Cham: Springer. 2021. ISBN 978-3-030-52162-2. MR 4175062. Zbl 07326288. arXiv:1902.01656  . doi:10.1007/978-3-030-52163-9_3 （英語）. 引文格式1維護：zbl格式 (link)
^ ^2.0 ^2.1 Grätzer, George. Lattice Theory: Foundation. Basel: Springer. 2011. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1 （英語）.

[Ertola-Biraben-1] 1.0 ^1.1 Ertola-Biraben, Rodolfo C.; Esteva, Francesc; Godo, Lluís. On distributive join semilattices. Fazio, D.; Ledda, A.; Paoli, F. (編). Algebraic Perspectives on Substructural Logics. Trends in Logic 55. Cham: Springer. 2021. ISBN 978-3-030-52162-2. MR 4175062. Zbl 07326288. arXiv:1902.01656  . doi:10.1007/978-3-030-52163-9_3 （英語）. 引文格式1維護：zbl格式 (link)

[Grätzer-2] 2.0 ^2.1 Grätzer, George. Lattice Theory: Foundation. Basel: Springer. 2011. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1 （英語）.

[1]

[2]