布靈根式(英語:Bring radical)或是超根式(英語:ultraradical)是代數術語。布靈根式不是一般意義下的根式(n次方根,或「單位根」),複數a的布靈根式可以用
表示,是指以下五次方程的解
實係數下布靈根式的圖
![{\displaystyle x^{5}+x+a=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce70f139b29025d2d4d34fa85d228259c7f0eac)
對應一複數a的布靈根式,是上述方程式五個解中的一個(因此是多值函數)一般會選擇布靈根式的根,使得實數的布靈根式為正值,而且在實數線附近可解析。布靈根式在複平面上有四個分支點,因此無法定義為複數平面上的連續函數,其連續域需要排除其分支切割。
布靈根式是由厄蘭·塞繆爾·布靈發明的,喬治·傑拉德證明有些五次方程可以用n次方根及布靈根式求解,因此可以用在一些五次方程的閉合形式解中。
此條目中。a的布靈根式表示為
。若a是實數,此函數是奇函數、單調遞減且無界,在
很大時,其漸近行為
。
布靈根式的泰勒級數,以及以廣義超幾何函數的表示式可以用以下方式推導。方程 可以寫成 ,若令 ,想要的解是 ,因為 是奇函數。
的級數可以用 泰勒級數(就是 )的反算來得,令
其中係數的絕對值形成整數數列線上大全中的A002294。數列的收斂半徑為 。
布靈根式的超幾何函數形式可以寫成[1]: