五次方程是一種最高次數為五次的多項式方程。本條目專指只含一個未知數的五次方程(一元五次方程),即方程形如

的圖形

其中,a、b、c、d、e和f为复数域内的数,且a不为零。例如:

尋找五次方程的解一直是個重要的數學問題。一次方程和二次方程很早就找到了公式解,經過數學家們的努力,後來三次方程及四次方程也有了解答,但是之后很长的一段时间里沒有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下,解五次方程顯得格外的困難。
後來,保羅·魯菲尼和尼爾斯·阿貝爾證明了一般的五次方程,不存在統一的根式解(即由方程的係數通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解)[1]。認為一般的五次方程沒有公式解存在的看法其实是不正確的。事實上,利用一些超越函數,如Θ函数或戴德金η函數即可構造出五次方程的公式解。另外,若只需求得數值解,可以利用數值方法(如牛頓法)得到相當理想的解答。
證明一般五次及其以上的一元多项式方程無根式解的人是埃瓦里斯特·伽羅瓦,他巧妙地利用群論處理了上述的問題。
對於一般的五次方程式
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可以藉由以下的轉換
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得到一個 的五次多項式,上述的轉換稱為契爾恩豪森轉換(Tschirnhaus transformation),藉由特別選擇的係數 ,可以使 , , 的係數為 ,從而得到如下的方程式:
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以上的化簡方法是由厄蘭·塞缪爾·布靈所發現,後來喬治·傑拉德也獨立發現了此法,因此上式稱為布靈·傑拉德正規式(Bring-Jerrard normal form)。
其步驟如下:
首先令
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可消去四次方項,得到
- ;
其中,
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-
-
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接下來,令 ,
得到
- ,
再令 ,
求得
- ;
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第三步,利用契爾恩豪森想到的方法,令:
- ,
代入
- ,
得到
- ,
再令 ,
則得 ,
若令 ,
則 , 可由以下兩個方程解得:
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若以函數的觀點來看,方程
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的解有兩個自變數 , 和 。
若再令
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則方程式可以進一步化簡為如下形式:
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它的解 是單一變數 的函數。