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戴德金η函數

定義在上半複數平面的全純函數

戴德金η函數(Dedekind eta function)是定義在上半平面的全純函數,這是權1/2的模形式之一例。

η函數的描繪

對每個屬於上半平面的複數,置,則η函數表為

η函數滿足以下函數方程

此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓

一般而言,對,我們有

其中的自守因子定為

戴德金和

由此函數方程可知η是權1/2的模形式,因此可由η構造更多的模形式,例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為

事實上,由函數方程可知是權12的模形式,而這類模形式構成複一維向量空間,比較傅里葉展開的常數項,上式立可得證。

拉馬努金有一個著名的猜想:在傅立葉展開式中,對任一素數,的係數的絕對值恆。此猜想最後由德利涅證明。

上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫,例如以二次型表示整數以及整數分拆問題。赫克算子(英語:Hecke operator)理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫,同時也聯繫了模形式與表示理論

文獻编辑

  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0

外部連結编辑

  • 王淑红,邓明立. 戴德金对理想论的贡献. 河北师范大学数学与信息科学学院. [2018-12-29] (中文(中国大陆)‎).