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四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为:

其中

本篇只讨论一元四次方程,并简称为四次方程。

解决四次方程编辑

自然,人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它多项式,有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则(就像二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的。经过很多努力之后,人们终于找到了一个可以解出任何四次方程的运算法则;不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,这样的一种方法在五次方程这里止步了;也就是说,四次方程是次数最高的一种方程,它的解可以通过一个运算法则,由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程,人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解,如同对于五次方程以下的方程所做的那样。

由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根,可以通过(对于任意次数的多项式都为真)试错法,或是使用鲁菲尼法则(只要所给的多项式的系数都是有理的)求出。到了计算机时代,通过牛顿法,人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出,你可以参见下文关于方法的概述。

求根公式编辑

 
 
 
 
 

 

特殊情况编辑

名义上的四次方程编辑

如果 ,那么其中一个根为 ,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,

 

双二次方程编辑

四次方程式中若   均為  者有下列形态:

 

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設   ,我們的方程式便成為:

 

這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:

 

當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到  的值:

 
 
 
 

若任何一個   的值為負數或複數,那麼一些   的值便是複數。

费拉里的方法编辑

开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

转变成减少次数的四次方程编辑

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以 

 
 

第一步:消除  列。为了做到这一步,先把变量 变成 ,其中

 .

将变量替换: 

展开后变成: 

整理后变成以u为变量的表达式

 

现在改变表达式的系数,为

 
 
 

结果就是我们期望的低级四次方程式,为

 

如果   那么等式就变成了雙二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量  的值.

费拉里的解法编辑

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恆等式

 

从方程 (1)和上式,得出:

 

结果把  配成了完全平方式: 。左式中,  并不出现,但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程  左边的完全平方中插入变量  ,相应地在右边插入一项 。根据恒等式

 

 两式相加,可得
  的插入)

与等式(2)相加,得

 

也就是

 

现在我们需要寻找一个 值,使得方程 的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:

 

右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:

 

因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:

 

把二项式与多项式相乘,

 两边除以 ,再把 移动到右边,
 

这是关于 三次方程。两边除以 

 

转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程编辑

方程 是嵌套的三次方程。为了解方程 ,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:

 

方程 变为

 

展开,得

 

合并同类项,得

 

这是嵌套的三次方程。

 
 

则此三次方程变为

 

解嵌套的降低次数的三次方程编辑

方程 的解(三个解中任何一个都可以)为

 
(由三次方程
 

则原来的嵌套三次方程的解为

 
注意   
注意   

配成完全平方项编辑

 的值已由 式给定,现在知道等式 的右边是完全平方的形式

 
这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。 的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个 消去。

从而它可分解因式为:

 .
注:若   。如果  则方程为双二次方程,前面已讨论过。

因此方程 化为

 .

等式 两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:

 .

 合并同类项,得

 .
注:   中的下标  用来标记它们是相关的。

方程 是关于 二次方程。其解为

 

化简,得

 

这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为

 
注意:两个   来自等式 的同一处,并且它们应有相同的符号,而   的符号是无关的。

费拉里方法的概要编辑

给定一个四次方程

 

其解可用如下方法求出:

 
 
 
 ,求解   并代入  ,求得根
 .
 
 
 (平方根任一正负号均可)
 (有三个复根,任一个均可)
 
 
两个  必须有相同的符号,  的符号无关。为得到全部的根,对   , , ,     来求 。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有 ,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根  的选取。(见对 相对 的注)

此即所求。

还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

 

它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。

另一種的計算方式编辑

 

此四次方程是下列两个二次方程之积:

 

以及

 

由于

 

因此

 

 
 

则方程  变为

 

同时有(未知的)变量  使方程  变为

 

方程   相乘,得

 

把方程  与原来的二次方程比较,可知

 
 
 

 

因此

 
 

方程 的解为

 
 

这两个解中的一个应是所求的实解。

歐拉的方法编辑

 寫出式子  ,令  ,
 把上式改寫為  ,
 再利用係數   造出另一式子:  , 求出   的三根,並用   代表它們。
 那麼   的四個根就是
  
  
  
  
 
 合併來看
 二次方程根的樣式為                    ,其中  
 三次方程根的樣式為           ,其中  
 四次方程根的樣式為   ,其中  
 延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。

其它方法编辑

化为双二次方程编辑

一个例子可见双二次方程

埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解编辑

參見编辑

文獻编辑