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四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为:
- 其中
本篇只讨论一元四次方程,并简称为四次方程。
数学家们为了解开四次方程——确切地说,找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样,有时可以对四次方程进行因式分解;但高次幂下的因式分解往往非常困难,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解(就像二次方程的求根公式那样, 能解所有的一元二次方程)意义重大。经过诸多研究后,数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,求根公式止步于四次方程,更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程,需要一种更为有效的方式来求解。
由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根,可以使用试错法,该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出,前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程,通过牛顿法等數值方法,可以轻易得到任意次方程的實數(數值)解。
如果 ,那么其中一个根为 ,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,
-
四次方程式中若 和 均為 者有下列形态:
-
因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設 ,我們的方程式便成為:
-
這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:
-
當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到 的值:
-
-
-
-
若任何一個 的值為負數或複數,那麼一些 的值便是複數。
开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。
要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以
-
-
第一步:消除 列。为了做到这一步,先把变量 变成 ,其中
- .
将变量替换:
展开后变成:
整理后变成以u为变量的表达式
-
现在改变表达式的系数,为
-
-
-
结果就是我们期望的低级四次方程式,为
-
如果 那么等式就变成了雙二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 的值.
这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恆等式
-
从方程 (1)和上式,得出:
-
结果把 配成了完全平方式: 。左式中, 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。
下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 ,相应地在右边插入一项 。根据恒等式
-
及
- 两式相加,可得
- ( 的插入)
与等式(2)相加,得
-
也就是
-
现在我们需要寻找一个 值,使得方程 的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:
-
右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:
-
因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:
-
把二项式与多项式相乘,
- 两边除以 ,再把 移动到右边,
-
这是关于 的三次方程。两边除以 ,
-
方程 是嵌套的三次方程。为了解方程 ,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:
-
方程 变为
-
展开,得
-
合并同类项,得
-
这是嵌套的三次方程。
记
-
-
则此三次方程变为
-
方程 的解(三个解中任何一个都可以)为
- 令
- (由三次方程)
-
则原来的嵌套三次方程的解为
-
- 注意 :
- 注意 :
的值已由 式给定,现在知道等式 的右边是完全平方的形式
-
- 这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。 的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个 消去。
从而它可分解因式为:
- .
- 注:若 则 。如果 则方程为双二次方程,前面已讨论过。
因此方程 化为
- .
等式 两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。
如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:
- .
对 合并同类项,得
- .
- 注: 及 中的下标 用来标记它们是相关的。
方程 是关于 的二次方程。其解为
-
化简,得
-
这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为
-
- 注意:两个 来自等式 的同一处,并且它们应有相同的符号,而 的符号是无关的。
给定一个四次方程
-
其解可用如下方法求出:
-
-
-
- 若 ,求解 并代入 ,求得根
- .
-
-
- (平方根任一正负号均可)
- (有三个复根,任一个均可)
-
-
- 两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根,对 , , , , 及 及 及 来求 。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有 ,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根 的选取。(见对 相对 的注)
此即所求。
还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
- ,
它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。
-
此四次方程是下列两个二次方程之积:
-
以及
-
由于
-
因此
-
设
-
-
则方程
变为
-
同时有(未知的)变量 和 使方程
变为
-
方程 与
相乘,得
-
把方程
与原来的二次方程比较,可知
-
-
-
及
-
因此
-
-
方程 的解为
-
-
这两个解中的一个应是所求的实解。
寫出式子 ,令 ,
把上式改寫為 ,
再利用係數 造出另一式子: , 求出 的三根,並用 代表它們。
那麼 的四個根就是
合併來看
二次方程根的樣式為 ,其中
三次方程根的樣式為 ,其中
四次方程根的樣式為 ,其中
延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。
一个例子可见双二次方程。
四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。[1]对于 ,有:[2]
[來源請求]
- 若 Δ> 0,方程有四个不同的实根,或两个实根和一对复共轭根。
- 若 Δ = 0,方程至少有一个重根。
- 若 Δ < 0,方程有两对复共轭根。
PlanetMath指出,这四个形式直接使用,即使是在计算机上也过于复杂。[2]这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。[1]