平均數不等式,或稱平均值不等式、均值不等式,是數學上的一組不等式,也是算術-幾何平均值不等式的推廣。它是說:
即
其中:
若且唯若
,等號成立。
即對這些正實數:調和平均數 ≤ 幾何平均數 ≤ 算術平均數 ≤ 平方平均數(方均根)
簡記為:「調幾算方」
關於均值不等式的證明方法有很多,數學歸納法(第一數學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以證明均值不等式,在這裡簡要介紹數學歸納法證明n維形式的均值不等式的方法:
用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。
引理:設 , ,則 ,且僅當 時取等號。
引理的正確性較明顯,條件 , 可以弱化為 , ,可以用數學歸納法證明。
原題等價於: ,若且唯若 時取等號。
當 時易證;
假設當 時命題成立,即 ,若且唯若 時取等號。
那麼當 時,不妨設 是 、 中最大者,則
設 ,
,根據引理
,若且唯若 且 時,即 時取等號。
此外,人教版高中數學教科書《選修4-5 不等式選講》也介紹了一個運用數學歸納法的證明方法[1]。
先運用數學歸納法證明一個引理:若 ( 是正整數)個正數 的乘積 ,則它們的和 ,若且唯若 時等號成立。
此引理證明如下:
當 時命題為:若 ,則 ,若且唯若 時等號成立。命題顯然成立。
假設當 時命題成立,則現在證明當 時命題也成立。
若這 個數全部是1,即 ,則命題顯然成立。
若這 個數不全是1,則易證明必存在 使 。不妨設 。由歸納假設,因為 ,所以 ,記此式為①式。由 ,知 ,則 ,整理得 ,記此式為②式。①+②得 ,整理得 (此時等號不成立),命題成立。
綜上,由數學歸納法,引理成立。
現在為了證明平均值不等式,考慮 個正數 ,它們的積為1,由引理,它們的和 ,若且唯若 即 時等號成立。
整理即得: ,若且唯若 時等號成立。於是 得證。
利用 ,易證 。考慮 個正數 ,有 ,若且唯若 即 時等號成立。兩邊取倒數整理得 ,若且唯若 時等號成立,即 。
等價於 。事實上, 等於 的方差,通過這個轉化可以證出 ,證明如下。
,
若且唯若 時等號成立。
利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式,同時還有柯西歸納法等方法。